排队论

服务台个数为1，服务时间V服从参数为μ的负指数分布，系统空间无限，允许永远排队，这是一个最简单的排队系统。

1、队长的分布

记pn?P?N?n??n?0,1,2,??为系统达到平稳状态后队长N的概率分布，则由（10.5），（10.6），（10.7），并注意到?n??，n?0,1,2,?和?n??，n?1,2,?记

??并设ρ<1，则

? ????Cn????????nn?1,2,?

故 pn??np0其中

n?1,2,?

?1?1??n?p0???????n?n?0?1??n?1?1因此

?1????1?????? ?1?? （10.9）

pn??1????n（10.10） n?0,1,2,?

公式（10.9）和（10.10）给出了在平衡条件下系统中顾客数为n的概率。有（10.9）

式不难看出，ρ是系统中至少有一个顾客的概率，也就是服务台处于忙的状态的概率，因而也称ρ为服务强度，它反映了系统繁忙的程度。此外，（10.10）式只有在???＜1的条件?下才能得到，即要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到统计平衡。

2、几个主要数量指标

对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队长L为：

L??npn??n?1????n

n?0n?1?????2?2?3?3????2?2?3?3?4??

????2??3???平均排队长Lq为：

?????1??????? （10.11）

Lq???n?1?pn?L??1?p0?

n?1??2?2 （10.12） ?L????1????????关于顾客在系统中的逗留时间T，可说明它服从参数为μ－λ的负指数分布，即

*

P?T＞t??e??????t t?0

*设一顾客到达时，系统中已有n个顾客，按先来先服务的规划，这个顾客的逗留时间

Wn就是原有各顾客的服务时间Ti和这个顾客的服务时间Tn+1之和

?Wn?T1?T2???Tn?Tn?1

其中T1表示这个顾客到达系统时正在接受服务的那个顾客仍需接受服务的时间。令

?f?tn?1?表示Wn的概率密度，这是在系统中已有n个顾客时的条件概率密度，故T的概率

密度为：

f?t???pnf?tn?1?

n?0?若Ti，i=1,?,n+1均服从参数为μ负指数分布，根据负指数分布的无记忆性，T1也服从参数为μ的负指数分布，因此，Wn服从爱尔朗分布：

?f?tn?1??所以

??n??ne??tn！

f?t????1????n?0?n???t?nn！e??t??1????e??t???t?n??????e??????t ??n?0n！

因此，平均逗留时间W为：

W?E?T??1 （10.13） ???因为，顾客在系统中的逗留时间为等待时间和接受服务时间之和，即

T?Tq?V

其中V为服务时间，故由

W?E?T??ETq?E?V??Wq?可得平均等待时间Wq为

Wq?W???1? （10.14）

1??? （10.15）

??????从（10.11）和（ 10.13）式，可得到平均队长L与平均逗留时间W具有关系

L??W （10.16） 同样，从（10.12）和（10.15）式，可得到平均排队长Lq与平均等待时间Wq具有关系 Lq??Wq （10.17） （10.16）和（10.17）式通常称为Little公式，是排队论中一个非常重要的公式。 3、忙期和闲期

在平衡状态下，忙期B和闲期I一般均为随机变量，求它们的分布是比较麻烦的。因此，我们来求一下平均忙期B和平均闲期I。由于忙期和闲期出现的概率分别为?和1??，所以在一段时间内可以认为忙期和闲期的总长度之比为?：?1???；又因为忙期和闲期是交替出现的，所以在充分长的时间里，它们出现的平均次数应是相同的。于是，忙期的平均长度

B和闲期的平均长度I之比也应是?：?1???，即

B? （10.18） ?I1??又因为在到达为Poisson流时，根据负指数分布的无记忆性和到达与服务相互独立的假设，容易证明从系统空闲时刻起到下一个顾客到达时刻止（即闲期）的时间间隔仍服从参数为λ的负指数分布，且与到达时间间隔相互独立。因此，平均闲期应为忙期为：

B?1?，这样，便求得平均

?1????1?1 （10.19） ???与（10.13）比较，发现平均逗留时间（W）=平均忙期（B）。这一结果直观看上去是显然的，顾客在系统中逗留的时间越久，服务员连续忙的时间也就越长。因此，一个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。

例1 考虑一个铁路列车编组站，设待编列车到达时间间隔服从负指数分布，平均到达2列/小时；服务台是编组站，编组时间服从负指数分布，平均每20分钟可编一组。已知编组站上共有2股道，当均被占用时，不能接车，再来的列车只能停在站外或前方站。求在平稳状态下系统中列车的平均数；每一列车的平均停留时间；等待编组的列车的平均数。如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时，每列车的费用为a元/小时，求每天由于列车在站外等待而造成的损失。

解：本例可看成一个M/M/1/∞排队问题，其中

??2（1）系统中列车的平均数

??3???2?＜1 ?32?L??3?2(列)

21??1?3（2）列车在系统中的平均停留时间（由Little公式）

W?L??2?1(h) 224?(列) 33（3）系统内等待编组的列车平均数为：

Lq?L???2?（4）列车在系统中的平均等待编组时间（由Little公式）

Wq?Lq??412??(h) 3233（5）记列车平均延误（由于站内2股道均被占用而不能进站）时间为W0，则

?2?W0?WP?N＞2??W?1?p0?p1?p2???3????0.296(h)

?3?故每天列车由于等待而支出的平均费用E为：

E?24?W0a?24?2?0.296?a?14.2a(元)

例2 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为Poisson流，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。试求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内恰有3个顾客的概率；（3）店内至少有1个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数；（5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过10分钟的概率。

解：本例可看成一个M/M/1/∞排队问题，其中

??4（1）修理店空闲的概率

??1?100.1???2? ?5p0?1???1?（2）店内恰有3个顾客的概率

2?0.6 5?2??2?p3??3?1???????1???0.038

?5??5?（3）店内至少有1个顾客的概率

3P?N?1??1?p0???（4）在店内的平均顾客数

2?0.4 5