全国高中物理竞赛波动光学训练题答案

所以 ???r2??r1?2?x?sin又因为f?d，有sin?????2??0

d， f所以 ?x??02sin?2?f?0。 d

18、有一个光子，沿x轴正方向射向一个静止于坐标原点O的电子。在y轴方向探测到一个散射光子。已知电子的静止质量为m0，光速为c。入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的

1。试求电子运动速度的大小与方向。 10解：由能量与速度关系及题给条件可知运动光子的能量为

m0c21?(v2c2)?1.10m0c2

由此可解得电子运动的速度大小 v?0.21c?0.417c?0.42c 1.10h?h??和p??，方向如图所示，电子的动量为cc入射光子和散射光子的动量分别为p?mv，m为运动电子的相对论质量。由动量守恒定律可得

m0v1?(v2c2)m0v1?(vc)22cos??h? cy 光子散射方向

sin??h?? cx

O ? 光子入射方向 电子出射方向

已知 h??h???0.10m0c2 由以上结果可以求出

??0.37m0c2h

???0.27m0c2h

最后求得电子运动方向与入射光子方向间的夹角

??arctan???36.1? ?19、（第26届全国中学生物理竞赛复赛）两惯性系S′与S初始时刻完全重合，前者相对后者沿z轴正向以速度v高速运动。作为光源的自由质点静止于S′系中，以恒定功率P向四周辐射（各向同性）光子。在S系中观察，辐射偏向于光源前部（即所谓的前灯效应）。

（1）．在S系中观察，S′系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以x轴为轴线的圆锥内。求该圆锥的半顶角α。已知相对论速度变换关系为

ux?u?x?v 21?u?v/cx式中ux与ux′分别为S与S′系中测得的速度x分量，c为光速。

（2）．求S系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量。

解：（1）．先求两惯性系中光子速度方向的变换关系．根据光速不变原理，两系中光速的大小都是c．以?和??分别表示光子速度方向在S和S?系中与x和x?轴的夹角，则光速的x分量为

ux?ccos? （1） ?u?x?ccos? （2）

再利用相对论速度变换关系，得

cos??cos???vc． （3） ?1?vcos?c

S?系中光源各向同性辐射，表明有一半辐射分布于0????π2的方向角范围内，S系中，

此范围对应0????．由上式求得

v2c?arccosv． （4） ??arccosv?c1?cosc2cos??

可以看出，光源的速度v越大，圆锥的顶角越小．

（2）．S?系中，质点静止，在?t?时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少，即

P?t???m0c2 （5）

式中?m0为?t?时间内质点减少的质量．S系中，质点以速度v匀速运动，由于辐射，其动质量减少?m，故动量与能量亦减少．转化为光子的总动量为?p??mv，即

?p??m0v1-vc22； （6）

转化为光子的总能量为?E??mc2，即

?E??m0c21?vc22． （7）

S?系中光源静止，测得的辐射时间?t?为本征时，在S系中膨胀为

?t??t?1?vc22， （8）

由以上各式可得在S系中单位时间内辐射的全部光子的总动量与总能量分别为

?pvP?2 （9） ?tc?E?P?t （10）

20、（第25届全国中学生物理竞赛预赛）光子不仅具有能量，而且还具有动量，频率为?的光子的能量为h?，动量h?c，式中h为普朗克常量，c为光速。光子射到物体表面时将产生压力作用，这就是光压．设想有一宇宙尘埃，可视为一半径R=10.0cm的小球，其材料与地球的相同，它到太阳的距离与地球到太阳的距离相等．试计算太阳辐射对此尘埃作用力的大小与太阳对它万有引力大小的比值．假定太阳辐射射到尘埃时被尘埃全部吸收．已知：地球绕太阳的运动可视为圆周运动，太阳辐射在单位时间内射到位于地球轨道处的、垂直于太阳光线方向的单位面积上的辐射能S?1.37?10W?m，地球到太阳中心的距离

3?2r0c?1.5?1011m，地球表面附近的重力加速度g?10m?s?2 ，地球半径R0?6.4?106m，

引力恒量G?6.67?10?11N?m2?kg?2。

解：设宇宙尘埃的质量为m，太阳的质量为M，则太阳作用于尘埃的万有引力

f?GMm (1) 2rse设地球的密度为?，地球的质量为me，按题意有

m?43πRρ 3(2)

ρ?me43πRe3 (3)

另有 Gme?g (4) 2Re和 GMme2π2?m()rse (5) e2rseT7式中T为地球绕太阳作圆周运动的周期，T?365?24?60?60s?3.15?10s。 由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式得

gR32π2f?()rse (6)

GReT太阳辐射中含有各种频率的光子，设单位时间内，射到尘埃所在处的与太阳辐射垂直的单位面积上频率为?i的光子数为Ni，根据S的定义有

S??Nihνi (7)

i光子不仅具有能量，还具有动量。由题意可知频率为?i的光子动量

pi?hνi (8) c光子射到尘埃表面被尘埃吸收，故光子作用于尘埃的冲量

ΔIi=pi (9)

单位时间内射到尘埃单位面积上的各种频率的光子对尘埃的总冲量

ΔI??NiΔIi??Nipi (10)

ii?I也就是压强。由于尘埃的表面是球面，球面上各部分并不都与太阳辐射垂直，但射

到球面上的光辐射与射到与太阳辐射相垂直的球的大圆面上的光辐射是相等的，故太阳辐射作用于尘埃的力

F??R2?I (11)

由（7）式和（11）式得

πR2F?S (12)

c由（6）式和（12）式得

FGReST2 (13) ?f4πgRcrse带入有关数据得