小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)..

实用文案

1方厘米．因为SVAFD?S长方形ABCD，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．

6

【例 8】 如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角

形BDG的面积．

AEDA

EDOFGCBB 【解析】 设BD与CE的交点为O，连接BE、DF．

GC

F11由蝴蝶定理可知EO:OC?SVBED:SVBCD，而SVBED?SWABCD，SVBCD?SWABCD，

421所以EO:OC?SVBED:SVBCD?1:2，故EO?EC．

31 由于F为CE中点，所以EF?EC，故EO:EF?2:3，FO:EO?1:2．

211由蝴蝶定理可知SVBFD:SVBED?FO:EO?1:2，所以SVBFD?SVBED?SWABCD，

28111那么SVBGD?SVBFD?SWABCD??10?10?6.25（平方厘米）．

21616

【例 9】 如图，在?ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若?AOM、?ABO和

?BON的面积分别是3、2、1，则?MNC的面积是 ．

AMOCBN

【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．

根据蝴蝶定理得 S?MON?S?AOM?S?BON3?13??

S?AOB22设S?MON?x，根据共边定理我们可以得 S?ANMS?ABM，?S?MNCS?MBC3?x32?3?2，解得x?22.5． 31??x2标准

实用文案

【例 10】

(2009年迎春杯初赛六年级)正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．

A1B6A6B5A5B4A4B3B1A2B2A3A6B5A5B4A4B3B6A1B1OA2B2A3

【解析】 如图，设B6A2与B1A3的交点为O，则图中空白部分由6个与?A2OA3一样大小的三角形组成，只要求

出了?A2OA3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积． 连接A6A3、B6B1、B6A3．

1“，1“，?A1A2B6面积为”2“，设?A1B1B6的面积为”则?B1A2B6面积为”那么?A6A3B6面积为?A1A2B6的2倍，为”4“，梯形A1A2A3A6的面积为2?2?4?2?12，?A2B6A3的面积为”6“，?B1A2A3的面积为2．

612，S?B1A2A3?， 1?67121所以S?A2OA3:S梯形A1A2A3A6?:12:1:7，即?A2OA3的面积为梯形A1A2A3A6面积的，故为六边形

77113A1A2A3A4A5A6面积的，那么空白部分的面积为正六边形面积的?6?，所以阴影部分面积为

14147?3?2009??1???1148(平方厘米)．

?7?根据蝴蝶定理，B1O?A3O?S?B1A2B6:S?A3A2B6?1:6，故S?A2OA3?

标准

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板块二 梯形模型的应用

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

AS2aS1OS3S4DBbC

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?．

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梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)

【例 11】

如图，S2?2，S3?4，求梯形的面积．

S1S2S3S4

【解析】 设S1为a2份，S3为b2份，根据梯形蝴蝶定理，S3?4?b2，所以b?2；又因为S2?2?a?b，所以

a?1；那么S1?a2?1，S4?a?b?2，所以梯形面积S?S1?S2?S3?S4?1?2?4?2?9，或者根

据梯形蝴蝶定理，S??a?b???1?2??9．

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【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已

知△AOB与△BOC的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．

A25O35BDC 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，SVAOB:SVBOC?a2:ab?25:35，可得a:b?5:7，再根据梯形蝴蝶定理，

SVAOB:SVDOC?a2:b2?52:72?25:49，所以SVDOC?49(平方厘米)．那么梯形ABCD的面积为

25?35?35?49?144(平方厘米)．

标准

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【例 12】

梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角

2形BOC面积的，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．

3ADOCB 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，SVAOB:SVBOC?ab:b2?2:3，可以求出a:b?2:3，

再根据梯形蝴蝶定理，SVAOD:SVBOC?a2:b2?22:32?4:9．

通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．

【例 13】 (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO?1，并且

三角形ABD的面积3?，那么OC的长是多少？

三角形CBD的面积5BAOC

三角形ABD的面积AOAO35【解析】 根据蝴蝶定理，，所以??，又AO?1，所以CO?．

三角形CBD的面积COCO53

【例 14】

梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？

DADOBC

【解析】 根据梯形蝴蝶定理，a:b?1:1.5?2:3，S?AOD:S?BOC?a2:b2?22:32?4:9，

所以S?AOD?4cm2．

【巩固】如图，梯形ABCD中，?AOB、?COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积．

??ABODC【解析】 根据梯形蝴蝶定理，SVAOB:SVACOD?a2:b2?4:9，所以a:b?2:3，

标准