高三数学一轮复习精品学案5：§2.3函数的奇偶性与周期性

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§2.3函数的奇偶性与周期性

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Ⅰ.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． Ⅱ.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．

Ⅲ.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 知识梳理 1．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 图象特点 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，关于 对称． 那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称 奇函数 2.周期性 (1)周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期． 学前自测

1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在『a－1，2a』上的偶函数，那么a＋b的值是( ) 1111

A．－ B. C. D．－

33222．下列函数为奇函数的是( ) A．y＝x B. y＝|sin x| C．y＝cos x D．y＝ex－e-x

3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x?)，且f(1)＝2，则f(2 016)＝________． 4．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________． 考向1·判断函数的奇偶性

典例赏析1：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝9?x2＋x2?9；

1

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(2)f(x)＝(x＋1)

1?x； 1?x4?x2(3)f(x)＝.

|x+3|-3

考向2·函数周期性的应用

典例赏析2：(1)x为实数，『x』表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－『x』在R上为( ) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－＝________.

考向3·函数奇偶性的应用

典例赏析3：(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈『0,2』时，f(x)＝ex－1，则f(2 013)＋f(－2 014)＝( ) A．1－e

B．e－1 C．－1－e D．e＋1

1，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)f(x)`(2)若函数f(x)＝ax2＋(2a2－a－1)x＋1为偶函数，则实数a的值为( ) A．1

B．－

11C．1或－D．0 22(3)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在『0，＋∞)上是增函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________________． 方法总结

2

高三数学一轮复习精品资料 一点注意

分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性． 两个结论

1．若f(x)定义域不关于原点对称，则f(x)不具有奇偶性．

112．若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数，且a≠0)，则2a为函

f（x）f（x）数f(x)的一个周期． 两个性质

1．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 2．若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)． 三种方法

判断函数的奇偶性，一般有三种方法：1.定义法；2.图象法；3.性质法．

——★ 参 考 答 案 ★——

知识梳理

3

高三数学一轮复习精品资料 1．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 图象特点 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，关于y轴对称． 那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 奇函数 2.周期性 (1) f(x＋T)＝f(x) (2)最小的正数 学前自测 1．B

『解析』依题意b＝0，且2a＝－(a－1)， 11

∴b＝0且a＝，则a＋b＝.

332．D

『解析』对于D，f(x)＝ex－ex的定义域为R，f(－x)＝ex－ex＝－f(x)， 故y＝ex－ex为奇函数．

而y＝x的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝x为非奇非偶函数．y＝|sin x|和 y＝cos x为偶函数． 3． 2

5

x＋?， 『解析』∵f(x)＝－f??2?55

x＋?＋? ∴f(x＋5)＝f???2?2

－

－

－

??

5

x＋?＝f(x) ＝－f??2?∴f(x)是以5为周期的周期函数． ∴f(2 016)＝f(403×5＋1)＝f(1)＝2. 4．3

『解析』∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)． 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3. 考向1·判断函数的奇偶性

2??9?x?0解 (1)由?2，得x＝±3.

x?9?0?? 4