2017数学高考分类·理科(2017高考真题+模拟新题)D单元 数列

111

1＋??1＋2?…?1＋n?＜m，求m的最小值． (2)设m为整数，且对于任意正整数n，??2??2??2?21．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．

1?1

①若a≤0，因为f?＝－＋aln 2＜0，所以不满足题意． ?2?2

ax－a②若a＞0，由f′(x)＝1－＝知，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)

xx＞0.所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．故x＝a是f(x)在(0，＋∞)上的唯一极小值点．

由于f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0， 故a＝1.

(2)由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－ln x＞0. 111

1＋n?＜n，从而 令x＝1＋n，得ln??2?22

1111111

1＋?＋ln?1＋2?＋…＋ln?1＋n?＜＋2＋…＋n＝1－n＜1. ln??2??2??2?2222111

1＋??1＋2?…?1＋n?＜e. 故??2??2??2?111

1＋??1＋2??1＋3?＞2，所以m的最小值为3. 而??2??2??2?

D5 单元综合

19．D2、D5[2017·江苏卷] 对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．

(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；

(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列． 19．证明：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，

从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1，2，3，

所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an， 因此等差数列{an}是“P(3)数列”．

(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此， 当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①

当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.② 由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③ an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④

将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4， 所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.

在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′， 在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′， 所以数列{an}是等差数列．

19．D3、D4、D5[2017·山东卷] 已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.

(1)求数列{xn}的通项公式；

(2)如图1-4，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn

＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.

图1-4

19．解：(1)设数列{xn}的公比为q，由已知q>0.

??x1＋x1q＝3，

由题意得?2

?x1q－x1q＝2，?

所以3q2－5q－2＝0. 因为q>0， 所以q＝2，x1＝1.

因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n1.

－

(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1. 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n1＝2n1，

－

－

记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn， 由题意bn＝

（n＋n＋1）n－1－

×2＝(2n＋1)×2n2， 2

－

－

－

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×21＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n3＋(2n＋1)×2n2.①

又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n2＋(2n＋1)×2n1，②

－

－

①－②得

－Tn＝3×2＋(2＋2＋…＋2（2n－1）×2n＋1

所以Tn＝. 2

20．D2、D5[2017·北京卷] 设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}(n＝1，2，3，…)，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数．

(1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列．

cn(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，>M；或者存在正整数m，

n使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列．

20．解：(1)c1＝b1－a1＝1－1＝0，

c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1，

c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2.

－1

2n－1

)－(2n＋1)×2

n－1

n1

32（1－2）－＝＋－(2n＋1)×2n1， 21－2

－

当n≥3时，(bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n<0， 所以bk－nak关于k∈N*单调递减，

所以cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n， 所以对任意n≥1，cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1， 所以{cn}是等差数列．

(2)证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，则

bk－nak＝b1＋(k－1)d2－[a1＋(k－1)d1]n＝b1－a1n＋(d2－nd1)(k－1)，

?b1－a1n＋（n－1）（d2－nd1），当d2>nd1 时，?

所以cn＝?

?b－an，当d≤nd时.?1121

d2①当d1>0时，取正整数m>，

d1

则当n≥m时，nd1>d2，因此cn＝b1－a1n. 此时，cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列． ②当d1＝0时，对任意n≥1，

cn＝b1－a1n＋(n－1)max{d2，0}＝b1－a1＋(n－1)(max{d2，0}－a1)． 此时，c1，c2，c3，…，cn，…是等差数列． d2③当d1<0时，当n>时，有nd1

d1

b1－d2cnb1－a1n＋（n－1）（d2－nd1）

所以＝＝n(－d1)＋d1－a1＋d2＋≥n(－d1)＋d1－

nnnM＋|b1－d2|＋a1－d1－d2d2a1＋d2－|b1－d2|.对任意正数M，取正整数m>max，，

d1－d1

cn故当n≥m时，>M.

n

1年模拟

3. 2017·开封月考若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(an＋1)cos nπ，则该数列的前2017项的