2017数学高考分类·理科(2017高考真题+模拟新题)D单元 数列

所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n. (2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，

由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n1，有a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，

－

故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，

4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n1，

＋

上述两式相减，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n

12×（1－4n）＋＋

－4－(3n－1)×4n1＝－(3n－2)×4n1－8,

1－4

3n－2n＋18

得Tn＝×4＋，

33

3n－2n＋18

所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4＋. 33

＋1

＝

19．D3、D4、D5[2017·山东卷] 已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，

x3－x2＝2.

(1)求数列{xn}的通项公式；

(2)如图1-4，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn

＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.

图1-4

19．解：(1)设数列{xn}的公比为q，由已知q>0.

??x1＋x1q＝3，

由题意得?2

?xq－xq＝2，?11

所以3q2－5q－2＝0.

因为q>0， 所以q＝2，x1＝1.

因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n1.

－

(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1. 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n1＝2n1，

－

－

记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn， 由题意bn＝

（n＋n＋1）n－1－

×2＝(2n＋1)×2n2， 2

－

－

－

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×21＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n3＋(2n＋1)×2n2.①

又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n2＋(2n＋1)×2n1，②

－

－

①－②得

－Tn＝3×2＋(2＋2＋…＋2（2n－1）×2n＋1

所以Tn＝. 2

D4 数列求和

15．D2、D4[2017·全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则?

k＝1n

－1

2n－1

)－(2n＋1)×2

n－1

n1

32（1－2）－＝＋－(2n＋1)×2n1， 21－2

－

1

＝Sk

________．

2n15. [解析] 设公差为d，则a1＋2d＝3且4a1＋6d＝10，解得a1＝1，d＝1，所以n＋1

11k（k＋1）1

Sk＝，＝2?k－k＋1?，

2Sk??

所以?

k＝1n

1111

1－?＋?－?＋…＋ ＝2[??2??23?Sk

?1－1?]＝2?1－1?＝2n. ?nn＋1??n＋1?n＋1

18．D2、D3、D4[2017·天津卷] 已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．

18．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. 由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0. 又因为q>0，所以q＝2，所以，bn＝2n. 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①. 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②，

联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.

所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n. (2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，

由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n1，有a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，

－

故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，

4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n1，

＋

上述两式相减，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n

12×（1－4n）＋＋

－4－(3n－1)×4n1＝－(3n－2)×4n1－8,

1－4

3n－2n＋18

得Tn＝×4＋，

33

3n－2n＋18

所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4＋. 33

＋1

＝

19．D3、D4、D5[2017·山东卷] 已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，

x3－x2＝2.

(1)求数列{xn}的通项公式；

(2)如图1-4，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn

＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.

图1-4

19．解：(1)设数列{xn}的公比为q，由已知q>0.

??x1＋x1q＝3，

由题意得?2

?x1q－x1q＝2，?

所以3q2－5q－2＝0. 因为q>0， 所以q＝2，x1＝1.

因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n1.

－

(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1. 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n1＝2n1，

－

－

记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn， 由题意bn＝

（n＋n＋1）n－1－

×2＝(2n＋1)×2n2， 2

－

－

－

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×21＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n3＋(2n＋1)×2n2.①

又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n2＋(2n＋1)×2n1，②

－

－

①－②得

－Tn＝3×2＋(2＋2＋…＋2（2n－1）×2n＋1

所以Tn＝. 2

21．B12、B14、D4[2017·全国卷Ⅲ] 已知函数f(x)＝x－1－aln x. (1)若f(x)≥0，求a的值；

－1

2n－1

)－(2n＋1)×2

n－1

n1

32（1－2）－＝＋－(2n＋1)×2n1， 21－2

－