2017数学高考分类·理科(2017高考真题+模拟新题)D单元 数列

(1)若an＝n，bn＝2n－1，求c1，c2，c3的值，并证明{cn}是等差数列．

cn(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，>M；或者存在正整数m，

n使得cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列．

20．解：(1)c1＝b1－a1＝1－1＝0，

c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1，

c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2. 当n≥3时，(bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n<0， 所以bk－nak关于k∈N*单调递减，

所以cn＝max{b1－a1n，b2－a2n，…，bn－ann}＝b1－a1n＝1－n， 所以对任意n≥1，cn＝1－n，于是cn＋1－cn＝－1， 所以{cn}是等差数列．

(2)证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，则

bk－nak＝b1＋(k－1)d2－[a1＋(k－1)d1]n＝b1－a1n＋(d2－nd1)(k－1)，

?b1－a1n＋（n－1）（d2－nd1），当d2>nd1 时，?

所以cn＝?

??b1－a1n，当d2≤nd1时.

d2①当d1>0时，取正整数m>，

d1

则当n≥m时，nd1>d2，因此cn＝b1－a1n. 此时，cm，cm＋1，cm＋2，…是等差数列． ②当d1＝0时，对任意n≥1，

cn＝b1－a1n＋(n－1)max{d2，0}＝b1－a1＋(n－1)(max{d2，0}－a1)． 此时，c1，c2，c3，…，cn，…是等差数列． d2③当d1<0时，当n>时，有nd1

d1

b1－d2cnb1－a1n＋（n－1）（d2－nd1）

所以＝＝n(－d1)＋d1－a1＋d2＋≥n(－d1)＋d1－

nnn

M＋|b1－d2|＋a1－d1－d2d2a1＋d2－|b1－d2|.对任意正数M，取正整数m>max，，

d1－d1

cn故当n≥m时，>M.

n

6．A2、D2[2017·浙江卷] 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

n（n－1）6．C [解析] 由题意，得Sn＝na1＋d，则S4＋S6－2S5＝(4a1＋6d)＋(6a1＋15d)

2－2(5a1＋10d)＝d.因此当d>0时，S4＋S6－2S5>0，则S4＋S6>2S5；当S4＋S6>2S5时，S4＋S6－2S5>0，则d>0.所以“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．因此选C.

D3 等比数列及等比数列前n项和

3．D3[2017·全国卷Ⅱ] 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

a1（1－27）

3．B [解析] 设塔的顶层共有a1盏灯，根据题意得＝381，解得a1＝3.

1－2

12．D3[2017·全国卷Ⅰ] 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )

A．440 B．330

C．220 D．110

12．A [解析] 把已知数列分组，第一组1项，第二组2项，第三组3项，依此类推，n（n＋1）n（n＋1）

则前n组项数之和为，因为N＞100，所以由＞100，解得n≥14.当n＝

22n（n＋1）

13时，＝91，此时已知数列的前91项和S91＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(213－1)＝

22×（1－213）

－13＝214－15，第十四组的前4项之和为15，则该数列的前95项和为2的

1－2n（n＋1）

整数幂，但此时N＝95，不合题意；当n＝14时，＝105，此时已知数列的前105

2项和S105＝215－16，第十五组前k项之和不可能等于16，故不合题意．类推可知，分组后n（n＋1）n＋1

的数列的前n组的各项之和为S＝2－(n＋2)，其第n＋1组的前k项之和为2k

229×（29＋1）

－1，只要n＋2＝2k－1，n≥14，即可，故最小的k＝5，此时n＝29，故N＝

2＋5＝440.

9．D2、D3[2017·全国卷Ⅲ] 等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )

A．－24 B．－3 C．3 D．8

29．A [解析] {an}为等差数列，且a2，a3，a6成等比数列，则a23＝a2·a6，即(a1＋2d)

＝(a1＋d)(a1＋5d)．

将a1＝1代入上式并化简，得d2＋2d＝0， ∵d≠0，∴d＝－2，

6×56×5∴S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24.

22

14．D3[2017·全国卷Ⅲ] 设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.

14．－8 [解析] 设等比数列{an}的公比为q.

??a1＋a2＝－1，??a1＋a1q＝－1①，

?由得? 2?a1－a3＝－3，??a1－a1q＝－3②，?

显然q≠±1，a1≠0，

②

由得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1， ①

∴a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.

10．D2、D3[2017·北京卷] 若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝a28，则＝________.

b2

10．1 [解析] 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.由a4＝a1＋3d＝－1＋3d＝8求得d＝3，所以a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.由b4＝b1q3＝－q3＝8求得q＝－2，所以b2＝b1q＝－1×(－a2

2)＝2，所以＝1.

b2

7

9．D3[2017·江苏卷] 等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6

463

＝，则a8＝________. 4

9．32 [解析] 当q＝1时，S6＝2S3，不符合题意；

763

当q≠1时，因为S3＝，S6＝，所以即1＋q3＝9，所以q＝2，644a1（1－q）63

＝，41－q1

代入可得a1＝，即a8＝a1q7＝32.

4

18．D2、D3、D4[2017·天津卷] 已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．

18．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. 由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0. 又因为q>0，所以q＝2，所以，bn＝2n. 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①. 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②，

联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.

??

???

a1（1－q3）7

＝，41－q