大学物理课后习题标准答案第六章

为零。

5．如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度。

解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dq??dx?强大小为

qdx，dq在P点产生的场LdE?故 P点场强大小为 EP?dE?dq?dx?，方向沿x轴负方向。 224??0x4??0x ??d?Ld?dx 24??0x q L P d x O ?q

4??0d?d?L?方向沿x轴负方向。

6. 一半径为R的均匀带电半球面，其电荷面密度为?，求球心处电场强度的大小。 解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。

在半球面上取宽度为dl的细圆环，其带电量dq???dS???2?rdl???2?Rsin?d?，

2dq在O点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上

的场强公式）

x r d dE?向

xdq4??0(x2?r2)32 ，方向沿x轴负方

利用几何关系，x?Rcos?，r?Rsin?统一积分变量，得

dE?xdq4??0(x?r)2232O

R ?Rcos???2?R2sin?d? 34??0R1??sin?cos?d? 2?0因为所有的细圆环在在O点产生的场强方向均沿为小为

x轴负方向，所以球心处电场强度的大

5

E??dE?方向沿x轴负方向。

?2?0??/20sin?cos?d??? 4?07. 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为?，如图所示。试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强。

解：应用补偿法和场强叠加原理求解。 若把半径为R的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为?????的半径为R的带电圆盘，由场强叠加原理知，P点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。

“无限大”带电平面在P点产生的场强大小为

E1?σ，方向沿x轴正方向 2?0半径为R、电荷面密度?????的圆盘在P点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）

E2?方向 故

?x(1?)，方向沿x轴负 2?0R2?x2R O ??P点的场强大小为

E?E1?E2?x x ?P ?x2?0R?x22

方向沿x轴正方向。

8. (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少?

??q解：（1）由高斯定理?E?dS?求解。立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面

s?0上电通量相等，所以通过各面电通量为

?e?q 6?0（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则通过边长2a的正方形各面的电通量?e?q 6?0q，如果它包含q所24?0对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e? 6

在顶点，则?e?0。

9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分

别为?1和?2，试求空间各处场强。

解：如图所示，电荷面密度为?1的平面产生的场强大小为

E?侧

?1，方向垂直于该平面指向外2?0电荷面密度为?2的平面产生的场强大小为

E?由场强叠加原理得 两面之间，E?E1?E2??2，方向垂直于该平面指向外侧 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向右 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向左 2?01(?1??2)，方向垂直于平面向右 2?0?1面左侧，E?E1?E2??2面右侧，E?E1?E2?10. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为R1和R2，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为?（??0）。试求各区域的电场强度分布。

解：电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理

??1?E?dS?S?0?qi得

E?4?r?21?0?qi

当r?R1时，?qi?0，所以 E?0 当R1?r?R2时，?qi??(?r3??R13)，所以

4343

7

?(r3?R13) E?

3?0r2当r?R2时，?qi??(?R23??R13)，所以

4343?(R23?R13) E? 23?0r11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为R1和R2（R2?R1），若大球面的面电荷密度为?，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。

解:（1）电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理

??1?E?dS?S?0?qi得

E?4?r?21?0?qi

22当r?R2时，E?0，?qi???4?R2????4?R1?0，所以

????（（2）当r?R1时，?qi?0，所以 E?0

R22)? R1当R1?r?R2时，?qi????4?R1??4??R2，所以

22E??（R22?) r?0负号表示场强方向沿径向指向球心。

12. 一厚度为d的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为?，求板内外的场强。

解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底

??1Ex面圆到平板中心的距离均为，底面圆的面积为?S。由高斯定理??dS?S?0?qi得

??1E??S?E??S?0??qi E?dS??S?0 8