立体几何二面角探索性问题

1.

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点． （1）求证：DM⊥平面PBC； （2）若点E为BC边上的动点，且余弦值为

BE??，是否存在实数λ，使得二面角P﹣DE﹣B的EC2？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由． 3

2.

在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且

AC?BC?BD?2AE?2，M是AB的中点．

（Ⅰ）求证：CM⊥EM．

（Ⅱ）求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．

（Ⅲ）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60?．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．

DE

AMBC试卷答案

1.

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）取PB中点N，连结MN，AN．由三角形中位线定理可得四边形ADMN为平行四边形．由AP⊥AD，AB⊥AD，由线面垂直的判定可得AD⊥平面PAB．进一步得到AN⊥MN．再由AP=AB，得AN⊥PB，则AN⊥平面PBC．又AN∥DM，得DM⊥平面PBC；

（2）以A为原点，

方向为x轴的正方向，

方向为y轴的正方向，

方向为z轴的正

方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设E（2，t，0）（0≤t≤4），再求得P，D，B的坐标，得到

的坐标，求出平面PDE的法向量，再由题意得到平面DEB的一个法

向量，由两法向量夹角的余弦值得到实数λ的值．

【解答】（1）证明：如图，取PB中点N，连结MN，AN． ∵M是PC中点，∴MN∥BC，MN=BC=2． 又∵BC∥AD，AD=2， ∴MN∥AD，MN=AD， ∴四边形ADMN为平行四边形． ∵AP⊥AD，AB⊥AD，AP∩AB=A， ∴AD⊥平面PAB．

∵AN?平面PAB，∴AD⊥AN，则AN⊥MN． ∵AP=AB，∴AN⊥PB，又MN∩PB=N， ∴AN⊥平面PBC．

∵AN∥DM，∴DM⊥平面PBC； （2）解：存在符合条件的λ． 以A为原点，

方向为x轴的正方向，

方向为y轴的正方向，

方向为z轴的正方

向，建立如图所示的空间直角坐标系．

设E（2，t，0）（0≤t≤4），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0）， 则

，

=（x，y，z），

．

设平面PDE的法向量

则，令y=2，则z=2，x=t﹣2，

取平面PDE的一个法向量为又平面DEB即为xAy平面，

=（2﹣t，2，2）．

故其一个法向量为∴cos＜

＞=

=（0，0，1），

=

．

解得t=3或t=1， ∴λ=3或

．

2.见解析

（Ⅰ）证明：∵AC?BC，M是AB的中点， ∴CM⊥AB， 又EA⊥平面ABC， ∴CM⊥EA， ∵EA?AB?A， ∴CM⊥平面AEM， ∴CM⊥EM．

（Ⅱ）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系M?xyz．则： M(0,0,0)，C(0,2,0)，B(2,0,0)，D(2,0,2)，E(?2,0,1)， ?????????????????ME?(?2,0,1)，MC?(0,2,0)，BD?(0,0,2)，BC?(?2,2,0)，

??设平面EMC的一个法向量m?(x1,y1,z1)，

???2x1?z1?0则：?，

??2y1?0??取x1?1，y1?0，z1?2，所以m?(1,0,2)，

?设平面DBC的一个法向量n?(x2,y2,z2)，则：

???2x2?2y2?0, ?2y?0,??2?取x1?1，y1?1，z1?0，所以n?(1,1,0)，

??????m?n16cos?m?n???????．

6|m||n|2?3故平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值为6． 6（Ⅲ）在棱DC上存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60?，

????????设N(x,y,z)且DN??DC，(0≤?≤1)， ∴(x?2,y,z?2)??(?2,2,?2)， ∴x?2?2?，y?2?，z?2?2?， ?????∴MN?(2?2?,2?,2?2?)，

若直线MN与平面EMC所成的的角为60?，则：

???????cos?MN,m??2?2??2(2?2?)3?2(1??)2?2?2?4(1??)2?sin60??3， 2解得??

1， 2

所以在棱DC上存在一点N，使直线MN与平面EMC所成的角是60?， 点N为棱DC的中点．

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