线性代数综合练习题（修改）

(c) 存在n阶正交矩阵Q，且Q?1AQ?B (d) 存在n阶方阵C,T，且CAT?B 9．下列矩阵中，不是二次型矩阵的为（ ） ．．

?000???(a).?000?

?00?1????100??30?2?????(b)?0?10? (c)?046? ?002???265??????123???(d) ?456?

?789???10．下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）

?23?(a)???34?

?34?(b) ???26? (c)

?100???02?3?????0?35?

?111???(d)?120????102?

11．已知A是一个三阶实对称且正定的矩阵，那么A的特征值可能是（ ）

(a)3，i, －1; (b)2, －1, 3; (c)2, i, 4; (d)1, 3, 4

二、填空题

21. 二次型f(x1,x2,x3,)?x1x2?2x2x3?x3的秩为 。 22．二次型f(x1,x2)?x12x2?6x1x2?3x2的矩阵为 。

?104???3． 设A??220?，则二次型f?XTAX的矩阵为 。

?003???224．若f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x1x2?tx2x3正定，则t的取值范围是 。

5．设A为n阶负定矩阵，则对任何X?(x1,x2,?,xn)T?0均有XTAX 。 6．任何一个二次型的矩阵都能与一个对角阵 。

?110???7．设A??1a0?是正定矩阵，则a满足条件 。

?00a2???228．设实二次型f(x1,x2,x3)?x12?2x1x2?2x2则当a的取值为_______ 时，二?ax3 21

次型f(x1,x2,x3)是正定的。

9．二次型f(x1,x2,x3)?2x1?2x2?2x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3的秩为 。 三、计算题

1. 求一个非退化的线性变换，将下列二次型化为标准型。

221）f(x1,x2,x3)?x12?2x1x2?2x1x3?2x2 ?4x2x3?x322） f(x1,x2,x3)?2x1x2?4x1x3?2x2?2x2x3

222?211??011?????2．设A??101?，B??121?，求非奇异矩阵C，使A?CTBC。

?110??110?????3．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)?x1x2?x1x3为标准形，并写出相应的满秩线性变换。

?11?2?4．求非奇异矩阵P，使PAP为对角阵，其中A???1?31?。

????20?1????1?1?81??x1?????5.设A??411?，X??x2?

?11?2??x????3?（1）计算二次型XTAX，写出该二次型所对应的矩阵；

（2）将二次型XTAX化为标准形，写出所用的可逆线性变换及变换矩阵。

?122?6、已知矩阵A??212?；判断A能否对角化，若可对角化，求正交矩阵P，

???221???使P?1AP为对角矩阵，并写出相应的对角矩阵。

227．化二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x3?2x1x3?2x2x3为标准形，并写出可逆的线

性变换。

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?422??18.设A??242? 求正交矩阵P，使PAP为对角矩阵，并写出相应的对角

???224???阵。 四、证明题

1．设A、B为同阶正定矩阵，?，??0，求证?A??B也是正定矩阵。 2．设A, B是同阶正定矩阵，试证A＋B也是正定矩阵。

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