2014-2015学年湖北省武汉二中龙泉中学高一（上）期中数学试卷

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www.jyeoo.com 可得即即， ， ， 故答案为：63． 点本题主要考查对数的基本运算，考查了用函数知识解决实际问题的应用、对数的互化等知识点，属于基础评： 题． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（12分）求值： （1）[﹣2×（）]×

02

+10（2﹣）+

﹣1

﹣

（2）| ﹣lg5|﹣﹣．

考点： 对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 分析： （1）利用指数幂的运算法则即可得出； （2）利用对数的运算法则、绝对值的意义即可得出． 解答： 解：（1）原式==4×16+=88． （2）原式=+4﹣10 +﹣ ﹣|1﹣lg2|﹣ =lg5﹣﹣（1﹣lg2）﹣ =． 点评： 本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算法则、绝对值的意义，属于基础题． 17．（12分）设集合A={x|x﹣ax+a﹣1=0}，B={x|x+3x﹣2a+4=0}，且A∩B={1}，求A∪B． 考点： 并集及其运算；交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 由已知条件推导出a=±2：若a=2，则A={x|x2﹣2x+1=0}={1}，B={x|x2+3x﹣4=0}={﹣4，1}，从而能求22出A∪B；若a=2，则A={x|x+3x﹣3=0}={﹣3，1}，B={x|x+3x﹣4=0}={﹣4，1}，从而能求出A∪B． 解答： 解：∵A∩B={1}， 22∴由1∈B，得1+3﹣2a+4=0，∴a=4，∴a=±2（4分） 2①若a=2，则A={x|x﹣2x+1=0}={1}， 2B={x|x+3x﹣4=0}={﹣4，1}， ∴A∪B={﹣4，1}（8分） 222

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www.jyeoo.com 2②若a=2，则A={x|x+3x﹣3=0}={﹣3，1} 2 B={x|x+3x﹣4=0}={﹣4，1}， ∴A∪B={﹣4，﹣3，1}．（12分） 点评： 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用． 18．（12分）设函数f（x）=2

．

（1）画出函数f（x）的图象；

（2）利用函数的图象求不等式f（x）≥2的解集． 考点： 分段函数的应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）先把函数表达式的根号里面的式子配方，化成分段函数，再画图象； （2）由直线y=2与函数图象交点上方的部分得不等式的解集． 解答： 解：（1）f（x）=2==2|x﹣1|﹣3|x﹣3|=． 图象如下： （2）解方程组得点A的坐标（，2） 从图象知：y=2与图象交于点（5，2）与点A， ∴不等式f（x）≥2的解集为 点评： 本题主要考查分段函数的图象的画法，以及应用图象解不等式的问题，要充分利用数形结合的数学思想解题． 19．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=（1）求m，n的值；

（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上为增函数； （3）若f（x）≤对 考点： 函数恒成立问题；函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用． ．

恒成立，求a的取值范围．

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www.jyeoo.com 分析： （1）根据函数是奇函数，得f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1）； （2）根据增函数的定义进行证明； （3）求函数f（x）的最大值即可． 解答： 解：∵x∈R，f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（0）=0， 得m=0 （1）因f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=所以f（﹣1）=﹣f（1）， 解得n=0， ∴m=n=0 （2）任取﹣1＜x1＜x2＜1， ． === ∵﹣1＜x1＜1，﹣1＜x2＜1 ∴﹣1＜x1x2＜1∴1﹣x1x2＞0 又x1＜x2， ∴x1﹣x2＜0 ∴f（x1）﹣f（x2）＜0 ∴f（x1）＜f（x2）（8分） ∴f（x）在（﹣1，1）上单调递增 （3）∵∴f（x）在[﹣∴∴， ． 上的最大值为f（）=， 点评： 本题主要考查函数的奇偶性和单调性，已经利用函数的单调性求函数的最值． 20．（13分）如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（a＞b），在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x取何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出这个最大面积．

考基本不等式在最值问题中的应用． 点： 专应用题；不等式的解法及应用． ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 题： 分先表示出面积，再分类讨论，即可求出四边形EFGH的面积最大． 析： 解解：（2分）答： ∴S平行四边形EFGH=ab﹣2[2（2分） ]=﹣2x+（a+b）x（0＜x≤b）（6分） （ⅰ）（ⅱ） 因此，当x=b时，面积S取得最大值ab﹣b（13分） 答：（ⅰ）（ⅱ）2（9分） ， 点本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 评： 21．（14分）若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数有“飘移点”x0． （1）函数f（x）=是否有“飘移点”？请说明理由； （2）证明函数f（x）=x+2在（0，1）上有“飘移点”； （3）若函数f（x）=lg（ 考点： 抽象函数及其应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）按照“飘移点”的概念，只需方程有根即可，据此判断； （2）本问利用零点定理即可判断，即判断端点处的函数值异号； （3）若函数在（0，+∞）上有飘移点，只需方程在该区间上有实根，然后借助于二次函数的性质可以解决． 解答： 解：（1）假设函数有“飘移点”x，则即由此方程无实根，与题设2x

）在（0，+∞）上有“飘移点”，求实数a的取值范围．

0矛盾，所以函数没有飘移点． x﹣1（2）令h（x）=f（x+1）﹣f（x）﹣f（1）=2（2h（1）＜0． 所以（3）+x﹣1），所以h（0）=﹣1，h（1）=2．所以h（0）有“飘移点”． 上有飘移点x0， ?2010-2014 菁优网