2019版数学高考大一轮复习备考讲义（浙江专用）第一章集合与命题1.2Word版含答案

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假. 题型二 充分必要条件的判定

典例 (1)(2017·浙江)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 C

解析 ∵S4＋S6＞2S5?S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)?a6＞a5?a5＋d＞a5?d＞0， ∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.

(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 答案 A

解析 由5x－6>x2，得2

(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.

跟踪训练 (1)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A.充要条件

B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

D.必要不充分条件 答案 D

解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件. (2)(2018届温州一模)已知α，β∈R，则“α＞β”是“cos α＞cos β”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D

ππ

解析 因为当α＝＞β＝时，cos α＞cos β不成立；

36

ππ

当cos＞cos时，α＞β不成立，所以“α＞β”是“cos α＞cos β”的既不充分也不必要条件，

63故选D.

题型三 充分必要条件的应用

典例 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.

解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}.

由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P. 1－m≤1＋m，??1－m≥－2， 则?∴0≤m≤3.??1＋m≤10，

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]. 引申探究

若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件. 解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

??1－m＝－2，∴?方程组无解， ?1＋m＝10，?

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.

思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.

x－1

跟踪训练 (1)设p：|2x＋1|0)；q：>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取

2x－1值范围为__________. 答案 (0,2]

解析 由|2x＋1|0)， 得－m<2x＋1

x－11

>0，得x<或x>1.

22x－1

∵p是q的充分不必要条件，又m>0， ∴

m－11

≤， 22

∴0

(2)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 答案 3或4

解析 由Δ＝16－4n≥0，得n≤4， 又n∈N*，则n＝1,2,3,4. 当n＝1,2时，方程没有整数根； 当n＝3时，方程有整数根1,3，

当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.

等价转化思想在充要条件中的应用

x－1?典例 已知p：?1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，綈p是綈q的必要不充分条件，

3??则实数m的取值范围为________.

思想方法指导 等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题.本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化. 解析 ∵綈p是綈q的必要不充分条件， ∴q是p的必要不充分条件. 即p是q的充分不必要条件，

由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)， 得1－m≤x≤1＋m(m＞0).

∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}. 设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}. x－1?又由?1－≤2，得－2≤x≤10，

3??∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}. 设N＝{x|－2≤x≤10}.

由p是q的充分不必要条件知，N�蘉， m＞0，??

∴?1－m＜－2，??1＋m≥10解得m≥9.

∴实数m的取值范围为[9，＋∞). 答案 [9，＋∞)

m＞0，??

或?1－m≤－2，??1＋m＞10，

1.命题“若函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是减函数，则m>1”的否命题是( ) A.若函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上不是减函数，则m≤1 B.若函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是减函数，则m≤1 C.若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上是减函数 D.若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在[0，＋∞)上不是减函数 答案 A

解析 “若p，则q”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定，故选A.

2.命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( ) A.1 C.3 答案 B

解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此4个命题中有2个假命题.

B.2 D.4

3.(2018届浙江名校协作体考试)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么“a·bπ

＝0”是“α＝kπ＋(k∈Z)”的( )

4A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 答案 B

解析 ∵a·b＝0＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α) ＝cos2α－sin2α＝cos 2α，

ππ

∴2α＝2kπ±，解得α＝kπ±(k∈Z).

24

π

故“a·b＝0”是“α＝kπ＋(k∈Z)”的必要不充分条件.

44.已知命题p：若a<1，则a2<1，则下列说法正确的是( ) A.命题p是真命题 B.命题p的逆命题是真命题

C.命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1” D.命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1” 答案 B

解析 若a＝－2，则(－2)2>1，∴命题p为假命题， ∴A不正确；

命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题， ∴B正确；

命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”， ∴C不正确；

命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”， ∴D不正确. 故选B.

5.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A.充分条件 C.充要条件 答案 B

解析 “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选B.

B.必要条件

D.既不充分也不必要条件