2020版高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4节合情推理与演绎推理教学案理含解析新人教A版

第四节 合情推理与演绎推理

[考纲传真] 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．

1．合情推理

类型 归纳推理 类比推理 2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． [常用结论]

1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．

2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. ( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. ( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) [答案](1)× (2)√ (3)× (4)×

2．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( ) A．an＝3n－1 C．an＝n

2

定义 全部对象都具有这种特征的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 特点 根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的由部分到整体、由个别到一般 由特殊到特殊 B．an＝4n－3 D．an＝3

2

n－1

C [a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n.]

- 1 -

x?1??1?x3．“因为指数函数y＝a是增函数(大前提)，而y＝??是指数函数(小前提)，所以函数y＝??

?3??3?

x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误 C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提错误导致结论错误

A [“指数函数y＝a是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．] 4．下面几种推理是合情推理的是 ( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°， 归纳出所有三角形的内角和都是180°；

③李锋某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；

④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°. A．①② C．①②④

B．①③ D．②④

xC [合情推理分为类比推理和归纳推理．其中①是类比推理，②④是归纳推理．故选C.] 5．(教材改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，

n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则b1b2b3…bn＝________. b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*) [∵b9＝1，∴在等比数列中b1·b2·b3·…·bn＝b1·b2·…·b17

－n(n＜17，n∈N)．]

*

归纳推理

?考法1 与数式有关的推理

?6?2,333?12?2,3333?20?2…，33

【例1】 (1)(2019·南昌模拟)已知1＋2＝??1＋2＋3＝??1＋2＋3＋4＝??，

?2??2??2?

若1＋2＋3＋4＋…＋n＝3 025，则n＝( ) A．8 B．9 C．10

D．11

(2)(2019·济宁模拟)已知ai＞0(i＝1,2,3，…，n)，观察下列不等式：

3

3

3

3

3

a1＋a2

2

≥a1a2；

3

≥a1a2a3；

a1＋a2＋a3

3

- 2 -

a1＋a2＋a3＋a4

4……

4

≥a1a2a3a4；

照此规律，当n∈N，n≥2时，

*

a1＋a2＋…＋an≥______.

n3

(1)C (2)a1a2…an [(1)观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n时，等号右边的数为?

nnn＋1?nn＋1?2，?nn＋1?2＝3

因此，令?025，则＝55，n＝10或n＝－11(舍)．故??222????

选C. (2)由题意得

a1＋a2＋…＋ann*

≥a1a2…an(n∈N，n≥2)．]

n?考法2 与图形有关的推理

【例2】 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的1

的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图． 3

(1)n级分形图中共有________条线段； (2)n级分形图中所有线段长度之和为________．

n?2?n(1)3×2－3 (2)9－9×?? [(1)由题图知，一级分形图中的线段条数为3＝3×2－3，二级

?3?

分形图中的线段条数为9＝3×2－3，三级分形图中的线段条数为21＝3×2－3，按此规律，

2

3

n级分形图中的线段条数为an＝3×2n－3(n∈N*)．

1

(2)∵从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段，∴n级分形图中第n3

n－1

2??*

级的所有线段的长度和为bn＝3×??(n∈N)，∴n级分形图中所有线段长度之和为Sn＝

?3?

n0

1

n－1

?2??2??2?3×??＋3×??＋…＋3×???3??3??3?

＝3×

2??1－??

?3?

n?2?＝9－9×??.]

2?3?1－3

[规律方法] 归纳推理问题的常见类型及解题策略 1与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解. 2与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解. - 3 -

3与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性. (1)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝＝

2

2，33

3＝8

33，48

4＝15

44，515

5＝24

5

5，…，则按照以上规律，若924

239

n9

9具有“穿墙术”，则n＝( )

nA．25 B．48 C．63 小正方形的个数是________．

D．80

(2)如图的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中

(1)D (2)＝

5

nn＋1

2

(n∈N) [(1)由2

*

2＝322，333＝833，484＝1544，515524

5

，…， 24

9

可得若9

n＝

92

9具有“穿墙术”，则n＝9－1＝80.

n(2)由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.所以总个数为(n∈N)．] 类比推理

*

nn＋1

2

【例3】 (1)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程12＋x＝x确定出来x＝2，类似地不难得到1＋＝( )

11＋

1＋…A.C.

－5－1

21＋5

2

B.D.

5－1

21－5

2

2

2

(2)(2018·南昌一模)平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为a＋b，直角

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