高考数学概念方法题型易误点技巧总结（十）

2008届高考数学概念方法题型易误点技巧总结（十）

排列、组合和二项式定理

mm1.排列数An中n?m?1,n、m?N、组合数Cn中n?m,n?1,m?0,n、m?N.

(1)排列数公式

mAn?n(n?1)(n?2)(n?m?1)?n!n(m?n)；An?n!?n(n?1)(n?2)(n?m)!2?1。如

x?2（1）1！+2！+3！+…+n！（n?4,n?N*）的个位数字为 （答：3）；（2）满足A8x?6A8的x＝ （答：8）

(2)组合数公式

mAnn?(n?1)??(n?m?1)n!0C?m??(m?n)；规定0！?1，Cn?1.如已知

Amm?(m?1)??2?1m!?n?m?!mnmnmCn?Cm?1?An?6，求 n，m的值（答：m＝n＝2）

mmm?1mn?mkk?1(3)排列数、组合数的性质：①Cn；②Cn?Cn?1?Cn?1；③kCn；?Cn?nCn?1r?1④Crr?Crr?1?Crr?2???Cn；⑤n?n!?(n?1)!?n!；⑥?Cnr?1n11??.

(n?1)!n!(n?1)!2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：3）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合?1,2,3?和?1,4,5,6?中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）?A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同?A的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区A 域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480）；（7）同

C B 室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则

4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9）；（8）f是集合D M??a,b,c?到集合N???1,0,1?的映射，且f(a)?f(b) ?f(c)，则不同的映射共有 个（答：7）；（9）满足A?B?C?{1,2,3,4}的集合A、

4B、C共有 组（答：7）

3.解排列组合问题的方法有：

（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。如（1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_____种（答：300）；（2）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0. 千位、百位上都能取0. 这样设计出来的密码共有_______种（答：100）；（3）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_______个（答：156）；（4）某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_____（答：6）；（5）四个不同

5的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。①恰有两个空盒的放法有__________种；②甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_________种（答：84；96）；（6）设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_________种（答：31）

（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____（答：15）。

（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____（答：2880）；（2）某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为_____（答：20）；（3）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_____（答：144）

（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。如（1）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种（答：24）；（2）某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_____（答：42）。

（5）多排问题单排法。如若2n个学生排成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为_____（答：相等）；

（6）多元问题分类法。如（1）某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_______种（答：15）；（2）某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种（答：36）；（3）9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有____________种（答：90）；

（7）有序问题组合法。如（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有 种不同的放法（答：20）；（2）百米决赛有6名运动A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员A比运动员F先到终点的比赛结果共有_____种（答：360）；（3）学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩xi?{89,90,91,92,93}(i?1,2,3,4)且满足x1?x2?x3?x4，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种（答：15）；（4）设集合A??1,2,3,4,5,6,7,8?，对任意x?A，有

35f(1)?f(2)?f(3)，则映射f:A?A的个数是_____（答：C8；（5）如果一个三位8）

正整数形如“a1a2a3”满足a1?a2且a3?a2，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_____（答：240）；（6）离心率等于logpq(其中

1?p?9,1?q?9且p,q?N*)的不同形状的的双曲线的个数为_____（答：26）。

（8）选取问题先选后排法。如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_____（答：576）。

（9）至多至少问题间接法。如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种（答：596）

（10）相同元素分组可采用隔板法。如（1）10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；（2）某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）

4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种（答：37440）；

n0n1n?15.二项式定理：(a?b)?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb，其中组合数Cnrrn?rr叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项Tr?1?Cnab(r?0,1,2,

,n)称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）

项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是

r二项式系数。如在(ax?b)n的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为Cn，第ｒ＋１项的系rn?rr数为Cn（2）当n的数值不大时往ab；而(x?)的展开式中的系数就是二项式系数；

1xn往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？如（1）(2x?34（2）1(?)x1(?)?x?1(?)?100x0117；)的展开式中常数项是____（答：14）

x3的展开式中的x的系数为______ （答：330）；

3（3）数11?1的末尾连续出现零的个数是____（答：3）；(4)(7x?32)40展开后所得的

x的多项式中，系数为有理数的项共有____项（答：7）；(5)若

1?6x?15x2?20x3?15x4?6x5?x6(x?N且x?21)的值能被5整除，则x的可取值的个数有____个（答：5）；(6)若xy?0,且x?y?1,二项式(x?y)9按x降幂展开后，其第

??)）二项不大于第三项，则x 的取值范围是 （答：(1,；(7)函数

0的最大值是_______（答：1024）. f(x)?(1?sinx10)??(1sxi1n)6、二项式系数的性质：

mn?m（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn； ?Cnn?1n?1r?时，二项式系数Cr的值逐渐增大，当时,Crnn22n的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第＋1项）的二项式系

2nn?1n?1数Cn2取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第和＋1项）的二项式系数

22（2）增减性与最大值：当r?Cn?12n?Cn?12n相等并同时取最大值。如（1）在二项式(x?1)11的展开式中，系数最小的项的

系数为______（答：－426）；（2）在(1?x)n的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则n＝____（答：17,18或19）。

01（3）二项式系数的和：Cn?Cn?r??Cnn0213?Cn?2n；Cn?Cn?????Cn?Cn?

12????2n?1。如（1）如果1?2Cn?22Cn?012（答：128）；（2）化简Cn?2Cn?3Cn?n012?2nCn?2187，则Cn?Cn?Cn??Cnn?

?(n?1)Cnn（答：(n?2)?2n?1）

7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为f(1)、“奇数 (偶次)项”

11系数和为[f(1)?f(?1)]，以及“偶数 (奇次)项”系数和为[f(1)?f(?1)]。如（1）已

2299294知(1?3x)?a0?a1x?a2x??a9x，则a0?a1?a|等于_____（答：）；?|?a||29（2）1(2)?x4002?a?x1?ax0a224002??ax4002，则(a0?a1)?(a0?a2)＋

（答：2004）；（3）设(1?x?x2)n?a0?a1x?a2x2???a2nx2n,?(a0?a2004)＝_____

则a0?a2???a2n3n?1）。 ?_____（答：2?Ar?Ar?1确定r。如求

A?Ar?1?r8、系数最大项的求法：设第r项的系数Ar最大，由不等式组?13x)10的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。（答：系数绝对值最29105132x3） 大的项为?15x，系数最大的项为8(x?9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。如（1）(0.998)5精确到0.001近似值为________（答：0.990）；（2）1?3?3???3被4除所得的余数为_____（答：0）；（3）今天是星期一，10045天后是星期_____（答：二）；（4）求证：32n?2?8n?9(n?N*)能被64整除；（5）求证：3?(n?2)2

nn?1299(n?N*,且n?2)