曲线中切线定理在求解高考压轴题中的应用-1

再谈曲线割线与中切线斜率关系定理

在妙解高考压轴题中的应用

在函数与导数应用有关的习题中，时常会遇到这样一类题目，即给定某一函数（如图1所示），已知其割线y?kx?b与曲线y?f(x)交于两个不同点

A(x1,y1),B(x2,y2)，过AB中点的铅垂线与曲线交于C点，根据不同的函数类型，

割线AB的斜率k?f(x2)?f(x1)与过C点

x2?x1f(x) B 的切线（姑且称其为中切线）斜率

f'(x2?x1)之间存在着某种固定关系，即有2如下定理（估且称之为曲线的割线和其中切线的斜率关系定理，简称为中切线定理）。

曲线的割线和其中切线斜率关系定理：

A C x x1 x2 图1 设函数y?f(x)是定义在实数集R某一子集D上的连续函数，其一、二阶导函数在D上均连续且可导，对于?x1,x2?D,且x1?x2：若f''(x)单调递增，

f(x2)?f(x1)x2?x1?f'()；若f''(x)为常数，则有则有

x2?x12f(x2)?f(x1)x2?x1f(x2)?f(x1)x?x?f'()。?f'(21)；f('')x若单调递减，则有

x2?x12x2?x12笔者在专著《谈曲线割线与中切线斜率关系问题的通用解法》。中给出了证明，但证明过程中用到了拉格朗日中值定理，对一般高中生而言，理解起来有一定困难。为此，笔者在此再给出一种适合于

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高中生的证明方法。

曲线的割线和其中切线斜率关系定理之证明（二）： 设

g(x)?f'(x)?xf''(x),x?D，则

g'(x)?f''(x)?f''(x)?xf'''(x)??xf'''(x).

当?xf'''(x)?0,即x?0,f'''(x)?0时，g'(x)?0，故f''(x)在定义域内单调递增，且g(x)在定义域内单调递减。

先讨论0?x1?x2的情形：当x?(x1,x2]时，因x1?x?x1?x?x2，故2，

即

f'(x)?f'(f(?x?x1)2x?1?x'2，

g(x1)?g(?1x?x)2x?x1)21x)xf(x?f，(2进

而)xx有f'f(x)?f(x?x1x?x1x?x1x?x1x?x1x?x1)?xf'(x)?f'()?xf'()?f'()?222222(x?x?x1x?x1)f'()，所以22f(x)?f(x?x1)x?x12?f'()，令x?x2，即有

x?x12x?2??xf'(x).)?xf'(x)设g(x)?f(x)?xf'(x),x?D，则g'(x)?f'(x)?f'(x当?xf''(x)?0,即x?0,f''(x)?0或x?0,f''(x)?0时，g'(x)?0，g(x)在定义域内单调递减；反之，当?xf''(x)?0,即x?0,f''(x)?0或x?0,f''(x)?0时，

g'(x)?0，g(x)在定义域内单调递增。

先讨论0?x1?x2且f''(x)?0的情形：此时f'(x)单调递增，g(x)单调递

x?x1x?x1?x?x2，故f'(x?)f'() 增；当x?(x1,x2]时，因x1?，22 2

x?x1x?x1x?x1x?x1g(x1)?g()，即f(x)?xf'(x)?f()?f'()，进而有

2222f(x)?f(x?x1x?x1x?x1x?xx?xx?x111)?xf'(x)?f'()?xf'()?f'()?222222x?x1f(x)?f()x?x1x?x1x?x12?f'()，令x?x2，即有 (x?)f'()，所以

x?x2122x?2

xf'(x?x1x?x1x?x1x?x1x?x1)?f'()?f'() 22222x?x1x?x)，则h(x1)?g(x1)?g(11)?0，22令h(x)?g(x)?g(h'(x)?g'(x)?g'(

x?x1) 2g'(x)?f'(x)?f'(x?x1(x?x1)x?x1)?f''(),由于f(x)的二阶导数存在，而222x?x1x?x1,x]上满足拉格朗日中值定理成立的条x1??x?x2故f'(x)在[22件，由此知???(x?x1,x)，使得f''(?)?2f'(x)?f'(x?x1x?x1)f'(x)?f'()22， ?x?x1x?x1x?22即有

x?x1x?x1f''(?)?f'(x)?f'()成立，所以 22g'(x)?

x?x1(x?x1)x?x1x?x1x?x1f''(?)?f''()?[f''(?)?f''()]. 22222x?x1),x?(x1,x2],则 设g(x)?f(x)?f(x1)?(x?x1)f'(2 3

g'(x)?f'(x)?f'(x?x1(x?x1)x?x1)?f''(),由于f(x)的二阶导数存在，而222x?x1x?x1[,x]上满足拉格朗日中值定理成立的条x1??x?x2故f'(x)在

22件，由此知???(x?x1,x)，使得f''(?)?2f'(x)?f'(x?x1x?x1)f'(x)?f'()22， ?x?x1x?x1x?22即有

x?x1x?x1f''(?)?f'(x)?f'()成立，所以 22g'(x)?x?x1(x?x1)x?x1x?x1x?x1f''(?)?f''()?[f''(?)?f''()]. 22222若f''(x)单调递增，则f''(?)?f''(x?x1)?0，即g'(x)?0,故g(x)单调递2x1?x1)?0，?g(x)?g(x1)?0，即2增。而g(x1)?f(x1)?f(x1)?(x1?x1)f'(x?x1x2?x1f(x)?f(x1)?(x?x1)f'()?0,令x?x2,即有f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f'().22当f''(x)为常数时，上式中f''(?)?f''(x?x1)，显然命题中等号成立；当2f''(x)单调递减时，证法与f''(x)单调递增的情形完全相同。

本文主要通过实例使读者体会该定理在解决部分高考压轴题中的巧妙应用。 【例题1】（直接应用：吉林省长春市2014届高三毕业班第二次调研测试题） 已知函数f(x)?xlnx．

（1）求f(x)的单调区间和极值；

（2）设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，且x1?x2，证明：

f(x2)?f(x1)x?x?f?(12).

x2?x1211解：(Ⅰ)易求得f(x)的单调递减区间为(0,)，单调递增区间为(,??)。

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