2020高考数学(理)一轮复习专题突破训练《16 球与多面体的内切、外接》

将该三棱锥补形为正方体,如图所示.

所以该三棱锥的外接球的体积等于补形后正方体外接球的体积,所以球的直径等于正方体的体对角线长,即2R=√22+22+22=2√3,所以球的体积为V=3π×(√3)3=4√3π. 7.C 解析 由△AOB的面积确定可知,若三棱锥O-ABC的底面OAB上的高最大,则其体积最大.因为高最大为半径R,所以VO-ABC=3×2R2×R=36,解得R=6,故S球=4πR2=144π. 8.B 解析 设正方体盒子的棱长为2a,则内切球的半径为a,平面A1BC1是边长为2√2a的正三角形,且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点,∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,则由图得,△A1BC1内切圆的半径是√2a×tan 30°=3a,则所求的截面圆的面积是π·3a2=3a2=3,故a=1,∴该小球的体积为V球=3×13=3.

9.A 解析 由题意画出几何体的直观图如图,把A,B,C,D扩展为三棱柱,上下底面中心的中点与A的距离为球的半径,AD=2AB=6,OE=3,△ABC是正三角形,AE=3×

√32

2

4π

4π√6

√6

2π

2π

1

1

4

×3=√3,AO=√32+(√3)2=2√3.故所求球的体积为3π×(2√3)3=32√3π.

4

5

10.A 解析 几何体的轴截面如图所示,设圆锥的底面半径为r,由题意可得

1

22+5)=27π,解得r=3,所以该圆锥的侧面积为×6π×√32+92=9√10π.故×π×r×(√25-??32

1

选A.

11.D 解析 当点S到底面ABCD的距离最大时,四棱锥的体积最大,这时△SAD为等边三角形,S到底面ABCD的距离为2√3且平面SAD⊥平面ABCD.设球心O到平面ABCD的距离OE=x,则由OD=OS,得x2+5=(2√3-x)2+1,所以x=3,所以四棱锥外接球的半径

√2R=√??2+5=√3,所以四棱锥外接球的表面积为S=4πR2=3π.故选D.

1976

12.A 解析 ∵SC是球O的直径,

∴∠CAS=∠CBS=90°. ∵BA=BC=AC=1,SC=2, ∴AS=BS=√3.

取AB的中点D,显然AB⊥CD,AB⊥SD,∴AB⊥平面SCD. 在△CDS中,CD=2,DS=

√3√11,SC=2,利用余弦定理可得2

????2+????2-????2

2????·????

cos∠CDS==-1√33, ∴sin∠CDS=∴S△CDS=2×

1

4√2, √33√32

×

4√2√11×2√331

=

√2, 2

1

1

1

√22

故V=VB-CDS+VA-CDS=3×S△CDS×BD+3S△CDS×AD=3S△CDS×BA=3×13.3π 解析 (法一)如图,

×1=6.

√2

6

取CD的中点E,连接BE,可得BE=2×√2=设等边三角形BCD的中心为G,则BG=3×

2

√3√6, 2

√62

=

√6, 3

∴AG=√12-(3) 2=

√6√3. 3

√62√32

+-R,解得33

设三棱锥A-BCD的外接球的半径为R,则R2=BG2+OG2,即R2=R=2.

√3

∴球O的表面积为4πR2=3π.

(法二)∵AB=AC=AD=1,BC=CD=BD=√2,

∴由勾股定理的逆定理得三棱锥的三个侧面都是全等的直角三角形,将三棱锥补形为正方体,则其外接球的直径为正方体的体对角线,

∴2R=√12+12+12=√3, 故球O的表面积为4πR2=3π.

14.2π 解析 如图所示,由AB=BC=1,AC=√2,得AB⊥BC,所以△ABC和△DAC都是直角三角形.△ABC外接圆的圆心是AC的中点,△DAC外接圆的圆心也是AC的中点,且两个三角形的外接圆都是球的大圆,所以球半径R=AC=,所以S球=4πR2=2π.

21

√22

15.

√41 2

解析 易知该阳马补形所得到的长方体的体对角线为外接球的直径,所以

√41.因为侧棱2

(2R)2=AB2+AD2+AP2=42+42+32=41,R=PA⊥底面ABCD,且底面为正方形,

????

√41. 2

所以内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆,则内切球半径为1,故=16.36π 解析 取SC的中点O,连接OA,OB. 因为SA=AC,SB=BC,所以OA⊥SC,OB⊥SC. 因为平面SAC⊥平面SBC,且OA?平面SAC,

所以OA⊥平面SBC.设OA=r,则VA-SBC=3×S△SBC×OA=3×2×2r×r×r=3r3, 所以3r3=9,解得r=3.

1

1

1

1

1

7

所以球O的表面积为4πr2=36π.

8