圆周运动中的临界问题

圆周运动中的临界问题

一、水平面内圆周运动的临界问题

关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。 1、与绳的拉力有关的临界问题

例1 如图1示，两绳系一质量为m?0.1kg的小球，

B 30OA C

上面绳长l?2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为

30o与45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，

o45O当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？

图1 解析：（1）当角速度?很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当，但BC绳中的张力仍?逐渐增大到30o时，BC才被拉直（这是一个临界状态）然为零。设这时的角速度为?1，

则有： TACcos30o?mg TACsin30o?m?1lsin30o 将已知条件代入上式解得 ?1?2.4rad/s

TBC增大。TAC?0（这（2）当角速度?继续增大时TAC减小，设角速度达到?2时，

2又是一个临界状态），

则有： TBCcos45o?mg TBCsin45o?m?2lsin30o 将已知条件代入上式解得 ?2?3.16rad/s

所以当?满足 2.4rad/s???3.16rad/s，AC、BC两绳始终张紧。 本题所给条件??3rad/s，说明此时两绳拉力TAC、TBC都存在。

则有：TACsin30o?TBCsin45o?m?2lsin30o TACcos30o?TBCcos45o?mg 将数据代入上面两式解得 TAC?0.27N， TBC?1.09N 注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。

如果??2.4rad/s时，TBC?0，AC与轴的夹角小于30o。 如果??3.16rad/s时，TAC?0，BC与轴的夹角大于45o。 2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题

2例2 如图2所示，细绳一端系着质量为M?0.6kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着 质量为m?0.3kg的物体，M的中心与圆孔距离为0.2m， 并知M与水平面间的最大静摩擦力为2N，现让此平面 绕中心轴匀速转动，问转动的角速度?满足什么条件 可让m处于静止状态。（g?10m/s）

2M r O m 图2

解析：由分析可知，如果平面不转动，M会被拉向圆孔，即m不能处于静止状态。当平面转动的角速度?较小时，M与水平面保持相对静止但有着向圆心运动的趋势，此时水平面对M的静摩擦力方向背向圆心，根据牛顿第二定律， 对于M有：F拉?f静?M?1r，可见随着静摩擦力的增大，角速度逐渐减小，当静摩擦力增大到最大值时，角速度减小到最小，即当静摩擦力背向圆心且最大，此时的角速度?1是最小的临界角速度，?1?(F拉?fmax)(Mr)?2.9rad/s； 当平面转动的角速度?较大时，M与水平面保持相对静止但有着远离圆心运动的趋势，此时水平面对M的静摩擦力方向指向圆心，根据牛顿第二定律， 对于M有：F拉?f静?M?2r，可见随着静摩擦力的增大，角速度逐渐增大，当静摩擦力增大到最大值时，角速度增大到最大，即当静摩擦力指向圆心且最大，此时的角速度?2是最大的临界角速度，?2?(F拉?fmax)(Mr)?6.5rad/s。 故要让m保持静止状态，平面转动的角速度满足：2.9rad/s???6.5rad/s 3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题

例3 如图3所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为??30o，一条长为l的轻绳一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看作质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平面内的匀速圆周运动。 （1）当v?1632gl时，求绳对物体的拉力；

22FT ? FN （2）当v?gl时，绳对物体的拉力又是多少。

mg 图3

解析：物体在光滑锥面上绕轴线做匀速圆周运动，通常情况下受重力、绳的拉力和锥面的支持力，正交分解各个力。

水平方向：FTsin??FNcos??mv2lsin? ①

竖直方向：FTcos??FNsin??mg ② 由①②得FN?mgsin??mvcos?lsin?2 ③

由③式可以看出，当?、l、m一定时，v越大，FN越小，当线速度增大到某一个值v0时，能使FN?0，此时物体与锥面接触又恰好没有相互作用，那么v0就是锥面对物体有无支持力的临界速度，令③式等于零，得v0?3gl6

（1）因为v1?v0，物体在锥面上且锥面对物体有支持力，联立①②两式得

FT1?mgsin??mv1l2?1.03mg

（2）因为v2?v0，物体已离开锥面，但仍绕轴线做水平面内的匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为?(???)，物体仅受重力和拉力的作用，这时有

FT2sin??mv22lsin? ④ FT2cos??mg ⑤

由④⑤两式得??60o，FT2?2mg 二、竖直平面内圆周运动的临界问题

对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。 1、轻绳模型过最高点

如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。

临界条件：假设小球到达最高点时速度为v0，此时绳子的拉力（轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即mg?mv0r2，

v0?gr，式中的v0是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。

（1）v?v0 （刚好到最高点，轻绳无拉力）

（2）v?v0 （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用）

（3）v?v0 （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道） 例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为m?1kg的小球， 绳的长度l?0.4m， 轻绳能够承受的最大拉力为Fmax?100N， 现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端O为 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整

的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（g?10m/s2） 图4 解析：题目中给出了两个条件，首先要让小球能够做完整的圆周运动，这个条件的实质是要求小球能够过最高点，这是无支撑的类型，小球过最高点的临界条件是重力提供向心力，此时绳子没有拉力的作用，即mg?m再从最高点到最低点列动能定理方程，则有

2mgl?12mv201O v0 v2l，?v?gl?2m/s，

?12mv2， 得v01?25m/s，此即小球在最低点的初

速度的最小值。

第二个条件是绳子不断，通过分析很容易知道，绳子在最低点最容易断，只要最低点不断，其它点都不会断。所以在最低点有

Fmax?mg?mv02 得v02?6m/s

2所以小球的初速度满足的条件是25m/s?v0?6m/s 2、轻杆模型过最高点

如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。

临界条件：由分析可知，小球在最高点的向心力是由重力和轻杆（管壁）的作用力的合力提供的，如果在最高点轻杆（管壁）对小球的作用力与重力刚好平衡，那么此时外界提供的向心力为零，即小球过最高点的瞬时速度可以为零，所以小球过最高点的临界速度为v0?0。

（1）v?0，轻杆（管壁）对小球有向上的支持力FN，且FN?mg