2017中考数学复习专题复习二函数解答题第2课时函数的图像与性质试题

第2课时 函数的图像与性质2

2

1．(2016·河南)某班“数学兴趣小组”对函数y＝x－2|x|的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

x y … … －3 3 5－ 25 4－2 m －1 －1 0 0 1 －1 2 0 5 25 43 3 … … 其中，m＝0；

(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该图像的另一部分；

(3)观察函数图像，写出两条函数的性质：可从函数的最值、增减性、图像的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可；

(4)进一步探究函数图像发现：

2

①函数图像与x轴有3个交点，所以对应方程x－2|x|＝0有3个实数根；

2

②方程x－2|x|＝2有2个实数根；

2

③关于x的方程x－2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是－1＜a＜0． 解：如图所示．

2

2．(2016·安徽)如图，二次函数y＝ax＋bx的图像经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)求a，b的值；

(2)点C是该二次函数图像上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2

解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y＝ax＋bx，

1???4a＋2b＝4，a＝－，?

2?得解得?

?36a＋6b＝0.???b＝3.

(2)过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F. 11

S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，

22

11

S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4，

2211122

S△BCD＝BD·CF＝×4×(－x＋3x)＝－x＋6x.

222

则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x＋6x)＝－x＋8x.

2

∴S关于x的函数表达式为S＝－x＋8x(2＜x＜6)．

2

∵S＝－(x－4)＋16，

2

2

2

∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.

123

3．(2016·唐山路南区模拟)已知二次函数y＝x－x＋m的图像C1与x轴有且只有一个公共点．

22

(1)求m的值；

(2)将C1向下平移若干个单位后得抛物线C2，若C2与x轴的一个交点为A(－1，0)，求C2的函数关系式，并求C2与x轴另一个交点B的坐标；

(3)①若P(n，y1)，Q(2，y2)是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围； ②若C2与y轴的交点为D，请直接写出∠ADB的度数． 3219

解：(1)由题意，得Δ＝()－4×m＝0，即m＝. 228

1239

(2)设C1向下平移n个单位，则C2的函数关系式为y＝x－x＋－n.

228又∵C2过点A(－1，0)，

1392

∴×(－1)－×(－1)＋－n＝0. 2289

解得－n＝－2.

8

123

∴C2的函数关系式为y＝x－x－2.

22

123

当y＝0时，x－x－2＝0，解得x1＝4，x2＝－1.

22∴另一交点B的坐标为(4，0)． 1239132

(3)①C1：y＝x－x＋＝(x－).

228223

对称轴为直线x＝，开口向上．

2

当n＝1时，y1＝y2.

∴当y1＞y2时，n的取值范围为n＜1或n＞2. ②易知D(0，－2)，又∵A(－1，0)，B(4，0)，

22222222

∴AD＝1＋2＝5，BD＝4＋2＝20，AB＝5＝25.

222

∴AD＋BD＝AB. ∴∠ADB＝90°.

2

4．(2016·福州)已知，抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)经过原点，顶点为A(h，k)(h≠0)． (1)当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；

2

(2)若抛物线y＝tx(t≠0)也经过A点，求a与t之间的关系式；

2

(3)当点A在抛物线y＝x－x上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．

2

解：(1)根据题意，设抛物线的解析式为y＝a(x－h)＋k(a≠0)．

2

∵h＝1，k＝2，∴y＝a(x－1)＋2.

又∵抛物线过原点，∴a＋2＝0，即a＝－2.

22

∴y＝－2(x－1)＋2，即y＝－2x＋4x.

22

(2)∵抛物线y＝tx经过点A(h，k)，∴k＝th.

22

∴y＝a(x－h)＋th.

22

∵抛物线经过原点，∴ah＋th＝0. 又∵h≠0，∴a＝－t.

2

(3)∵点A(h，k)在抛物线y＝x－x上，

222

∴k＝h－h.∴y＝a(x－h)＋h－h. ∵抛物线经过原点，

122

∴ah＋h－h＝0.∵h≠0，∴a＝－1.

h

分两种情况讨论：

113

①当－2≤h＜0时，由反比例函数性质可知：≤－，∴a≤－；

h221

②当0＜h＜1时，由反比例函数性质可知：＞1，∴a＞0.

h3

综上所述，a的取值范围是a≤－或a＞0.

2

5．(2016·无锡)已知二次函数y＝ax－2ax＋c(a＞0)的图像与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3. (1)求A，B两点的坐标；

5

(2)若tan∠PDB＝，求这个二次函数的关系式．

4

2

解：(1)过点P作PE⊥x轴于点E，

2

∵y＝ax－2ax＋c，

∴该二次函数的对称轴为直线x＝1，∴OE＝1. ∵OC∥BD，

∴CP∶PD＝OE∶EB. 3

∴OE∶EB＝2∶3.∴EB＝.

255

∴OB＝OE＋EB＝.∴B(，0)．

22

1

∵A与B关于直线x＝1对称，∴A(－，0)．

2(2)过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G.

2

将x＝1代入y＝ax－2ax＋c，∴y＝c－a.

2

将x＝0代入y＝ax－2ax＋c，∴y＝c. ∴PG＝a.

5CF

∵CF＝OB＝，∴tan∠PDB＝.∴FD＝2.

2FD∵PG∥BD，∴△CPG∽△CDF. ∴

PGCP244＝＝.∴PG＝.∴a＝. DFCD555

428

∴y＝x－x＋c.

55

1428

把A(－，0)代入y＝x－x＋c，解得c＝－1.

255428

∴该二次函数解析式为y＝x－x－1.

55

12

6．(2016·淮安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x＋bx＋c的图像与坐标轴交于A，B，C三点，其中

4点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(－4，0)．

(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；

(2)点D的坐标为(0，4)，点F为该二次函数在第一象限内图像上的动点，连接CD，CF，以CD，CF为邻边作?CDEF，设?CDEF的面积为S. ①求S的最大值；

②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图像上时，请直接写出此时S的值．

12

解：(1)y＝－x＋x＋8.

412

令y＝0，则－x＋x＋8＝0.

4

解得x1＝－4(舍去)，x2＝8.∴C(8，0)． 12

(2)①连接DF，设F(a，－a＋a＋8)．

41

易求得CD的解析式为y＝－x＋4.

2

1

过点F作FG⊥x轴，交CD于点G，则G(a，－a＋4)．

21

S＝2S△CDF＝2××FG·OC

2123

＝8(－a＋a＋4)

42

＝－2a＋12a＋32.

当且仅当a＝3时，S取最大值． S最大＝－2×9＋12×3＋32＝50.

2

②构造全等三角形：△EFH≌△DCO. 12

∵F(a，－a＋a＋8)，

412

∴E(a－8，－(a－8)＋a)．

4∴EH＝4，即

1122

－(a－8)＋a－(－a＋a＋8)＝4， 44

解得a＝7.

代入可知S＝－2×49＋87＋32＝18.

7．(2016·长沙)如图，直线l：y＝－x＋1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°. (1)求△AOB的周长；