2017高考数学文二轮复习讲义：第三编 考前冲刺攻略 第三步 应试技能专训 二 中档题专练

二、中档题专练

(一)

1．2016·长春监测]已知函数f(x)＝2sinxcosx＋23cos2x－3. (1)求函数y＝f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其

?Aπ?133中a＝7，若锐角A满足f?2－6?＝3，且sinB＋sinC＝14，求△ABC

??

的面积．

解 (1)f(x)＝2sinxcosx＋23cos2x－3＝sin2x＋3cos2x＝π??

?2sin2x＋3?， ??

2π因此f(x)的最小正周期为T＝2＝π.

ππ3π

f(x)的单调递减区间为2kπ＋2≤2x＋3≤2kπ＋2(k∈Z)， π7π??

即x∈?kπ＋12，kπ＋12?(k∈Z)．

??

??Aπ?π??Aπ???(2)由f2－6＝2sin?2?2－6?＋3?＝2sinA＝3，又A为锐角，所以

??????

π

A＝3.

a714

由正弦定理可得2R＝sinA＝＝，

332b＋c133

sinB＋sinC＝2R＝14，

b2＋c2－a213314

则b＋c＝14×＝13，由余弦定理可知，cosA＝2bc＝

3?b＋c?2－2bc－a21

＝2，可求得bc＝40， 2bc

1

故S△ABC＝2bcsinA＝103.

2．2016·开封一模]如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，

1

CD∥AB，AD＝CD＝2AB＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．

(1)求证：AD⊥平面BCD； (2)求三棱锥C－ABD的高．

解 (1)证明：∵平面ADC⊥平面ABC，且AC⊥BC， ∴BC⊥平面ACD，即AD⊥BC，又AD⊥CD， ∴AD⊥平面BCD. (2)由(1)得AD⊥BD，

∴S△ADB＝23，∵三棱锥B－ACD的高BC＝22，S△ACD＝2，∴11

3×23h＝3×2×22，

26

∴可解得h＝3.

3．2016·河南质检]某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n)进行统计，按照50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在50,60)，90,100]的数据)．

(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在90,100]内的概率．

8

解 (1)由题意可知，样本容量n＝＝50，

0.016×10y＝

2

＝0.004， 50×10

x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.

(2)由题意可知，高度在80,90)内的株数为5，记这5株分别为a1，a2，a3，a4，a5，高度在90,100]内的株数为2，记这2株分别为b1，b2.

抽取2株的所有情况有21种，分别为：

(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，

a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)．

其中2株的高度都不在90,100]内的情况有10种，分别为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)．

10

∴所抽取的2株中至少有一株高度在90,100]内的概率P＝1－2111＝21.

(二)

1．2016·云南统检]设数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n,3an－2Sn＝2.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：Sn＋2Sn

解 (1)∵对任意正整数n,3an－2Sn＝2，∴3an＋1－2Sn＋1＝2， ∴3an＋1－3an－2Sn＋1＋2Sn＝0，即3an＋1－3an－2(Sn＋1－Sn)＝0， ∴3an＋1－3an－2an＋1＝0，解得an＋1＝3an. 当n＝1时，3a1－2S1＝2，即a1＝2， ∴an＝2×3n－1.

∴数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1. 2×?1－3n?n(2)证明：由(1)可得Sn＝＝3－1，

1－3∴Sn＋1＝3n＋1－1，Sn＋2＝3n＋2－1，

n

∴Sn＋2Sn－S2n＋1＝－4×3<0，

∴Sn＋2Sn

2．2016·山西联考]某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：

年份x 储蓄存款y(千亿元) 2011 2012 2013 2014 2015 5 6 7 8 10