江苏省2017届高考数学模拟试卷（二）含答案

∴h(x)?max{f(x),g(x)}在(0,??)上无零点． ．．．．．．．．．8分

②当1?4?0，即a?2时，f(x)min?f(1)?0，又g(1)?0， 2a∴h(x)?max{f(x),g(x)}在(0,??)上有一个零点． ．．．．．．．．．9分

4?0，即0?a?2时，设?(x)?f(x)?g(x)?ax3?3x2?1?lnx(0?x?1)， 2a11∵?'(x)?3ax2?6x??6x(x?1)??0，∴?(x)在(0,1)上单调递减，

xx1a2e2?31?0，∴存在唯一的x0?(,1)，使得?(x0)?0． 又?(1)?a?2?0,?()?3?2eeee③当1?Ⅰ．当0?x≤x0时，

∵?(x)?f(x)?g(x)≥?(x0)?0，∴h(x)?f(x)且h(x)为减函数，

又h(x0)?f(x0)?g(x0)?lnx0?ln1?0,f(0)?1?0，∴h(x)在(0,x0)上有一个零点； Ⅱ．当x?x0时，

∵?(x)?f(x)?g(x)??(x0)?0，∴h(x)?g(x)且h(x)为增函数， ∵g(1)?0，∴h(x)在(x0,??)上有一个零点；

从而h(x)?max{f(x),g(x)}在(0,??)上有两个零点． ．．．．．．．．．15分

综上所述，当0?a?2时，h(x)有两个零点；当a?2时，h(x)有一个零点；当a?2时，

h(x)有无零点． ．．．．．．．．．．16分

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．

A．(几何证明选讲，本小题满分10分)

证明：连接AD，∵AB为圆的直径，∴AD?BD，

又EF?AB，则A,D,E,F四点共圆，

∴BD?BE?BA?BF． ．．．．．．．．．．．．．5分

13

又?ABC∽?AEF， ∴

ABAC，即AB?AF?AE?AC， ?AEAF∴BE?BD?AE?AC?BA?BF?AB?AF?AB?(BF?AF)?AB2． ．．．．．10分

B．(矩阵与变换，本小题满分10分)

?a解:（1）设M???cb??ab??1??1??ab???1??0?，由?8?cd??1??1?及?cd??3???8?，d??????????????

?a?b?8?a?6?c?d?8?b?2?62???得?，解得?，∴M??．．．．．．．．．．．．．．．．．4??a?3b?0c?4?44? ??????c?3d?8?d?4分

（2）设原曲线上任一点P(x,y)在M作用下对应点P'(x',y')，

2x'?y'?x???x'?6x?2y?x'??62??x??8则????，即，解之得， ?????44y'?4x?4yy'y?2x'?3y'????????y??8?代入x?3y?2?0得x'?2y'?4?0，

即曲线x?3y?2?0在M的作用下的新曲线方程为x?2y?4?0． ．．．．．．10分

C．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)

?x?rcos??2解：（1）由C:?得(x?2)2?(y?2)2?r2，

?y?rsin??2∴曲线C是以(2,2)为圆心，r为半径的圆，

∴圆心的极坐标为(22,)． ．．．．．．．．．．．．．5

?4分

（2）由l:2?sin(??π)?1?0得l:x?y?1?0，

4从而圆心(2,2)到直线l的距离为d?|2?2?1|5?2， 22∵圆C与直线l有公共点，∴d≤r，即r≥分

14

52． ．．．．．．．．．．102

D．(不等式选讲，本小题满分10分)

a2b2c2d2???) 证明：∵[(1?a)?(1?b)?(1?c)?(1?d)](1?a1?b1?c1?d≥(1?a?abcd?1?b??1?c??1?d?)2 1?a1?b1?c1?d?(a?b?c?d)2?1， ．．．．．．．．．．．．5

分

又(1?a)?(1?b)?(1?c)?(1?d)?5，

a2b2c2d21???≥． ．．．．．．．．．．．．10∴

1?a1?b1?c1?d5分

22．(本题满分10分)

解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3．

112P(X?0)?(1?)C0(1?a)?(1?a)2； 22211112P(X?1)?C0(1?a)?(1?)Ca(1?a)?(1?a2)； 2222211221P(X?2)?C1(2a?a2)； 2a(1?a)?(1?)C2a?2221122P(X?3)?C2a?a． 222 从而X的分布列为

X 0 1 2 3 P X的数学期望为

111(1?a)2 (1?a2) (2a?a2) 222a2 2111a24a?1222E(X)?0?(1?a)?1?(1?a)?2?(2a?a)?3??． ．．．．．．5

22222分

（2）P(X?1)?P(X?0)?[(1?a2)?(1?a)2]?a(1?a)，

1211?2a， P(X?1)?P(X?2)?[(1?a2)?(2a?a2)]?2211?2a222P(X?1)?P(X?3)?[(1?a)?a]?．

22 15

??a(1?a)≥0?11?1?2a由?≥0和0?a?1，得0?a≤,即a的取值范围是(0,]． ．．．．10分

22?2?1?2a2≥0??223．(本题满分10分)

解：（1）∵SA?底面ABCD，?DAB?90?，∴AB、AD、AS两两垂直．

以A为原点，AB、AD、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）， ．．．．．．．．．．．．．．．1分

则S(0,0,a)，C(a,a,0)，D(0,3a,0)(a?0)，

∵SA?AB?a且SA?AB，∴设E(x,0,a?x)其中0≤x≤a，

????????∴DE?(x,?3a,a?x)，SC?(a,a,?a)，．．．．．．．．．．．．．．．2 ．

分

????????假设DE和SC垂直，则DE?SC?0，

即ax?3a2?a2?ax?2ax?4a2?0，解得x?2a，

这与0≤x≤a矛盾，假设不成立，所以DE和SC不可能垂直． ．．．．．．．．4分

（2）∵E为线段BS的三等分点（靠近B），∴E(a,0,a)．

2313??????设平面SCD的一个法向量是n1?(x1,y1,z1)，平面CDE的一个法向量是n2?(x2,y2,z2)，

16

?????????????????n1?CD?0∵CD?(?a,2a,0)，SD?(0,3a,?a)，∴???， ???????n1?SD?0????ax1?2ay1?0?x1?2y1即?，即?，取n1?(2,1,3)3ay?az?0z?3y11?1?1分

， ．．．．．．．．．．．．6

????????????????2?n2?CD?01∵CD?(?a,2a,0)，DE?(a,?3a,a)，∴???， ?????33??n2?DE?0??ax2?2ay2?0????x2?2y2?即?2，即?，取n2?(2,1,5)1z?5yax?3ay?az?02?2222?3?3分

设二面角S?CD?E的平面角大小为?，由图可知?为锐角，

， ．．．．．．．．．．．．8

????????????n?n24?1?152105??1????∴cos??|cos?n1,n2?|??， ?21|n1|?|n2|14?30即二面角S-CD-E的余弦值为分

2105． ．．．．．．．．．．．．1021 17