工科概率统计练习册-解答题(第三版-2015)

11P?X?1,Y?3??P?X?1?P?Y?3X?1??0.6??．

35所以(X,Y)的分布律为

Y X 0 1

1 2 3 1/10 3/10

1/5 1/10

1/10 1/5

?ke?3x?4y,x?0,y?0;4．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??（1）求常数k；

其他.?0,（2）求(X,Y)的分布函数F?x,y?；（2）求P?0?X?1,0?Y?2?． 解 (1)由

??0??0ke?3x?4ydxdy?1，知k?12．

yx?3x?4y?dxdy,x?0,y?0,??0?012e(2)F(x,y)??

??0,x?0,y?0?(1?e?3x)(1?e?4y),x?0,y?0, ??

?0,x?0,y?0.(3)P{0?X?1,0?Y?2}??20(?12e?3x?4ydx)dy?(1?e?3)(1?e?8)

015．已知平面区域D由曲线y?1及直线y?0,x?1,x?e2围成，(X,Y)在D上服从x均匀分布．求（1）(X,Y)的联合密度函数；（2）X和Y的边缘密度函数． 解 由于m(D)??e211e2dx?lnx|1?2，故 x1?12?,1?x?e,0?y?,(1)f(x,y)??2x；

??1,其他.

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?12?2(e?1),0?y?e,?2??12,1?x?e,??11fY(y)??(?1),e?2?y?1, (2)fX(x)??2x??2y?0,其他.?0,其他.??概率论与数理统计练习题（5）

随机变量的独立性、随机变量函数的分布

姓名 学号 班级

3．设随机变量X的分布律为P{X?k}? 解 Y?sin故P{Y??1}??X1Y?sin,k?1,2,?，求的分布律. k221,k?1,2,?， k2?X2的可能取值为?1,0,1，而P{X?k}??2k?0?14k?3??21118?，P{Y?0}??2k?，P{Y?1}??4k?1?， 15315k?12k?02则Y的分布律为

Y -1 0 1 pk

2 151 38 154．一电子仪器由两部件构成，以X和Y分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知

?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),x?0,y?0,X和Y的联合分布函数为F(x,y)??

其他.?0,（1）问X和Y是否相互独立？（2）求两部件的寿命均超过100小时的概率． 解 (1)FX(x)?limF(x,y)?1?e?0.5x(x?0)，

FY(y)?limF(x,y)?1?e?0.5y(y?0)，

FX(x)FY(y)?(1?e?0.5x)(1?e?0.5y)?1?e?0.5x?e?0.5y1?e?0.5(x?y),x?0,y?0,

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?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),x?0,y?0;即 FX(x)FY(y)??

0,其它,?有 F(x,y)?FX(x)FY(y)， 故X和Y相互独立．

(2)P?X?0.1,Y?0.1??P?X?0.1?P?Y?0.1?

?(1?P?X?0.1?)(1?P?Y?0.1?) ?[1?(1?e?0.05)][1?(1?e?0.05)]?e?0.05e?0.05

5．设随机变量X与Y相互独立，其密度函数分别为

?e?0.1?0.9048．

?e?y,y?0,?1,0?x?1,fX(x)??fY(y)??.

0,其他,0,y?0.??求随机变量Z?2X?Y的分布函数．

?e?y,0?x?1,y?0, 解 由于X、Y独立，因此f(x,y)??所以

其它．?0,?z?0,?0,z?2x?z/2f(x,y)dxdy???dx?e?ydy,0?z?2,

00?1z?2x?y?dxedy,z?2,??0?0FZ(z)?P{2X?Y?z}?2x?y?z????0,z?0,??1即 FZ(z)??(e?z?z?1),0?z?2,

?2?12?z1?(e?1)e,z?2.??2

概率论与数理统计练习题（6）

7

数学期望、方差

姓名 学号 班级

3．对某目标进行射击，直到击中为止，如果每次命中率为p，求射击次数X的数学期望和方差．

解 X的可能取值为n?1,2,?，而P{X?n}?(1?p)n?1p,n?1,2,?， 故EX?2?n(1?p)n?1?2n?1?n?1p?p1?p1np?n(1?p)??， ?21?pn?11?pppp?2p(1?p)(2?p)1?pnp?n(1?p)??2， ?1?pn?11?pp3p1?p。 p2E(X)??n(1?p)n?1DX?E(X2)?(EX)2?

4．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为

x?1?1?e4,x?0, f(x)??4?0,x?0.?工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备净盈利的数学期望． 解 由于Y???100,??200,?114X?1, 所以 X?1．E(Y)?100??100e

xx11?1?44edx?200?edx

044?14?14??200e-200?300e?200?33.64（元）．

概率论与数理统计练习题（7）

协方差、相关系数、大数定律与中心极限定理

姓名 学号 班级

3．在一零件商店中，其结帐柜台替各顾客服务的时间（以分计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1，求对100位顾客的总服务时间不多余2小时的概率． 解 用Xk表示柜台替第k位顾客服务的时间，k?1,2,?,100，则

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