高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理学案含解析新人教A

则由正弦定理可得x46

sin 120°＝sin 45°

，

46×

3于是x＝46·sin 120°

2

sin 45°

＝

2＝12，故选D.

2

4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 B．有两解

C．无解

D．有解但解的个数不确定

解析：选C 由正弦定理得

bcsin B＝sin C， ∴sin B＝bsin C40×32c＝20

＝3>1.

∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( ) A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b

C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A ＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立

D．在△ABC中，ab＋csin A＝sin B＋sin C

解析：选B 由正弦定理易知A，C，D正确． 对于B，由sin 2A＝sin 2B， 可得A＝B，或2A＋2B＝π， 即A＝B，或A＋B＝π

2

，

∴a＝b，或a2

＋b2

＝c2

，故B错误. 二、填空题

6．(北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝2π

3，则∠B＝________.

解析：在△ABC中，根据正弦定理asin A＝

bsin B，

有

3＝6，可得2

sin

2πsin Bsin B＝2. 3

因为∠A为钝角，所以∠B＝

π4

. 9

π答案： 4

7．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________. 解析：A＝180°－B－C＝30°，由正弦定理得

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，

即a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120° ＝1∶1∶3. 答案：1∶1∶3

8．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________. 解析：由正弦定理，得 sin C＝

AB·sin A5sin 120°53

＝＝. BC714

可知C为锐角，

112

∴cos C＝1－sinC＝. 14

∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C) 33

＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝.

1433答案：

14三、解答题

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2B＝A＋C，a＋2b＝2c，求sin C的值．

解：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°， ∴B＝60°，A＋C＝120°， ∴0°

A＝120°－C.

∵a＋2b＝2c，

由正弦定理得sin A＋2sin B＝2sin C， ∴sin(120°－C)＋即

6

＝2sin C， 2

316

cos C＋sin C＋＝2sin C， 222

336∴sin C－cos C＝. 222

10

∴sin(C－30°)＝

2. 2

∵－30°

＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝

6＋2

. 4

10．(天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝3

bsin A.

(1)求B；

1

(2)若cos A＝，求sin C的值．

3

解：(1)由asin 2B＝3bsin A及正弦定理得 2asin Bcos B＝3bsin A＝3asin B， 所以cos B＝3π，所以B＝. 26

122

(2)由cos A＝，可得sin A＝，则

33sin C＝sin[π－(A＋B)]

?π?＝sin(A＋B)＝sin?A＋?

6??

＝

3126＋1

sin A＋cos A＝. 226

a2sin Bb2sin A11．在△ABC中，已知＝，试判断△ABC的形状．

cos Bcos Aa2sin Bb2sin A解：∵＝，

cos Bcos Aa＝2Rsin A，b＝2Rsin B，

4Rsin Asin B4Rsin Bsin A∴＝. cos Bcos A又∵sin Asin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B， ∴2A＝2B，或2A＋2B＝π， π

即A＝B，或A＋B＝.

2

11

2

2

2

2

故△ABC是等腰三角形或直角三角形．

12．已知方程x－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC2

的两边，A，B为两内角，试判定这个三角形的形状．

解：设方程的两根为x1、x2， 由根与系数的关系，得???x1＋x2＝bcos A，??x1x2＝acos B.

∴bcos A＝acos B.

由正弦定理得：sin Bcos A＝sin Acos B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， sin(A－B)＝0.

∵A、B为△ABC的内角，

∴0

12