湖南省岳阳市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题含答案

2∴P(Y?2)?C5?0.52?(1?0.5)3?0.3125.

（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，

则：P(X?4)?0.22?0.04，P(X?5)?2?0.2?0.5?0.2，

P(X?6)?0.52?2?0.2?0.3?0.37，P(X?7)?2?0.3?0.5?0.3，P(X?8)?0.32?0.09，

∴X的分布列为：

X的数学期望E(X)?4?0.04?5?0.2?6?0.37?7?0.3?8?0.09?6.2.

21.解：（1）∵f(x)?xlnx?12mx?x(m?R)在(0,??)上是减函数， 2∴f'(x)?lnx?mx?0在定义域(0,??)上恒成立，

lnx)max， xlnx1?lnx设h(x)?，则h'(x)?，

xx2∴m?(由h'(x)?0，得x?(0,e)，由h'(x)?0，得x?e， ∴函数h(x)在(0,e)上递增，在(e,??)上递减，

11，∴m?. ee1故实数m的取值范围是[,??).

e∴h(x)max?h(e)?证明：（2）由（1）知f'(x)?lnx?mx，

∵函数f(x)在(0,??)上存在两个极值点x1，x2，且x1?x2， ∴??lnx1?mx1?0，

?lnx2?mx2?0lnx1?lnx2?m??x1?x2lnx1?lnx2lnx1?lnx2?则?，∴， ?x?xx?xlnx?lnx121212?m??x1?x2?x1x?1)?ln1xx2x?x2x∴lnx1?lnx2?1， ?ln1?2xx1?x2x21?1x2(设t?(t?1)?lntx1， ?(0,1)，则lnx1?lnx2?t?1x2要证lnx1?lnx2?2， 只需证

(t?1)?lnt2(t?1)2(t?1)?2，只需证lnt??0， ，只需证lnt?t?1t?1t?12(t?1)14(t?1)2构造函数g(t)?lnt?，则g'(t)????0，

t?1t(t?1)2t(t?1)22(t?1)在t?(0,1)上递增， t?12(t?1)?0， ∴g(t)?g(1)?0，即g(t)?lnt?t?1∴g(t)?lnt?∴lnx1?lnx2?2.

22.解：（Ⅰ）根据x??cos?、y??sin?，求得曲线C的直角坐标方程为y2?4x， 用代入法消去参数求得直线l的普通方程x?y?2?0.

??x??2??（Ⅱ）直线l的参数方程为：??y??4???22t2（为参数）

， t2t22代入y?4x，得到t?122t?48?0，设M，N对应的参数分别为t1，t2，

则t1?t2?122，t1?t2?48，∴PM?PN?t1?t2?122. ??x?3,x?1?23.解：（1）由于f(x)???3x?1,?1?x?1，

?x?3,x??1?当x?1时，函数的最大值为?1?3??4， 当?1?x?1时，f(x)?f(?1)?3?1?2， 当x??1时，f(x)max?f(?1)??1?3?2，

所以k?f(x)max?f(?1)?2.

a2?c2?b2?2，有(a2?b2)?(b2?c2)?4， （2）由已知

22222因为a?b?2ab（当a?b取等号），b?c?2bc（当b?c取等号），

所以(a2?b2)?(b2?c2)?4?2(ab?bc)，即ab?bc?2， 故[b(a?c)]max?2.