信号与系统 - 时域、频域分析及MATLAB软件的应用

图1-26 n阶系统的模拟图

y\1y' (t)+a0y(t)=b1[q\1q'+a0q] '+b0[q\1q'+a0q] =[b1q'+b0q] \1[b1q'+b0q] '+a0[b1q'+b0q]

由此可见， y(t)=b1q'+b0q (1-21)

这样一来，式(1-19)就可以用式(1-20)和式（1-21）两式来等效。于是一般形式的二阶微分方程可用图1-27来实现模拟。

图1-27 一般二阶系统的模拟图

对于一般的n阶系统的微分方程

y(n)(t)+an–1y(n–1)(t)+?+a1y' (t)+a0y(t) =bmx(m)(t)+bm–1x(m–1)(t)+?+b1x'(t)+b0x(t) 设式中m=n–1，则其系统模拟图如图1-28所示。

以上介绍了连续时间系统模拟的方法，关于离散时间系统的模拟将在第6章中介绍。 1-5线性时不变系统分析方法概述

在系统分析中，线性时不变系统分析具有重要意义。这是因为：一方面，实际工作的多数系统在指定条件下可被近似为线性时不变系统；另一方面，线性时不变系统的分析方法已经比较成熟，形成了较为完善的体系，而非线性系统与时变系统的分析虽然已经发展了一些实用方法，但作为一般的理论，至今尚未达到成熟的阶段，线性时不变系统的分析是研究时

图1－28 一般n阶系统的模拟图??变系统或非线性系统的基础。

分析线性系统一般必须首先建立描述系统的数学模型，然后再进一步求得系统数学模型的解。在建立系统模型方面，系统的数学描述方法可分两类：一类称为输入-输出描述法；一类称为状态变量描述法。

输入-输出描述法着眼于系统激励与响应的关系，并不涉及系统内部变量的情况。因而，这种方法对于单输入、单输出系统较为方便。一般而言，描述线性时不变系统的输入-输出关系，对连续系统是用常系数线性微分方程来描述，对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。

变系统或非线性系统的基础。

分析线性系统一般必须首先建立描述系统的数学模型，然后再进一步求得系统数学模型的解。在建立系统模型方面，系统的数学描述方法可分两类：一类称为输入-输出描述法；一类称为状态变量描述法。

输入-输出描述法着眼于系统激励与响应的关系，并不涉及系统内部变量的情况。因而，这种方法对于单输入、单输出系统较为方便。一般而言，描述线性时不变系统的输入-输出关系，对连续系统是用常系数线性微分方程来描述，对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。

状态变量描述法不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，特别适用于多输入、多输出系统。用这种方法建立的数学式为一阶标准形式，便于计算机求解。状态变量分析法还适用于时变系统和非线性系统，己成为系统理论与近代控制工程的基础。 从系统数学模型的求解方法来讲，基本上可分为时域方法和变换域方法两类。 时域法是直接分析时间变量的函数，研究系统的时域特性。对于输入-输出描述的数学模型，可求解常系数线性微分方程或差分方程；对于状态变量描述的数学模型，则需求解矩阵微分方程。在线性系统时域分析方法中，卷积方法非常重要，不管是在连续系统中的卷积还是在离散系统中的卷积和，都为分析线性系统提供了简单而有效的方法，本书中将详细讨论这种方法。

变换域方法是将信号与系统的时间变量函数变换成相应变换域的某个变量函数。例如，傅里叶变换(FT)是以角频率ω作为变量的函数，利用FT来研究系统的频率特性；拉普拉斯变换(LT)与Z变换(ZT)则注重研究零点与极点分布，对系统进行S(复频率)域和Z域分析。变换域方法可以将分析中的微分方程或差分方程转换为代数方程，或将卷积积分与卷积和转换为乘法运算，使信号与系统分析的求解过程变得简单而方便。

在分析线性时不变系统中，时域法和变换域法都以叠加性、线性和时不变性为分析问题的基准。首先把激励信号分解为某种基本单元信号，然后求出在这些基本单元信号分别作用下系统的零状态响应，最后叠加。

应该指出，卷积方法求得的只是零状态响应，而变换域方法不限于求零状态响应，也可用来求零输入响应或直接求全响应，它是求解数学模型的有力工具。状态变量分析法既适用于时域分析法又适用于变换域方法。

本书按照先输入–输出描述后介绍状态变量描述，先连续系统后离散系统，先时域后变换域的顺序，研究线性时不变系统的基本分析方法。

习题1

1–1 下列信号中哪些是周期信号，哪些是脉冲信号？哪些是能量信号，它们的能量各为多少？哪些是功率信号，它们的平均功率各为多少？

（1） ε（t） （2）ε（t）–ε（t–1）

（3）

1?(t) （4）3cos（ω0t +θ） 1?tj(?0t??)（5）3e （6）e–at cosω0tε（t）

（7）3tε（t） （8）cos?0t4?sin?0t5

1–2 试说明单位冲激函数δ（t）是题图1–2所示的各函数当η→0时的极限。

题图1–2

1–3 试绘出下列各信号的波形，注意它们的区别。 （1）t （2）t–1 （3）tε（t） （4）（t–1）ε（t） （5）tε（t–1） （6）（t–1）ε（t–1）

（7）t[ε（t）–ε（t–1）] （8）–t[ε（t–1）–ε（t–2）] 1–4 试写出题图1–4所示各信号的表达式。

1–5 信号f1（t）和f2（t）的波形如题图1–5所示，给出f1（t）+f2（t）、f1（t）–f2

（t）、f1（t）· f2（t）的波形。

1–6 信号f（t）的波形如题图1–6所示，给出f（t–2）、f（t+2）、f（–t–2）、f（–t+2）的波形。

1–7 信号f（t）的波形如题图1–7所示，绘出f ’（t）、

?t??f(?)d?的波形。

1–8 已知信号f（t）和g（t）的波形如题图1–8所示，

题图1-4

题图1-5

题图1-6 题图1-7 （1）试绘出f(3t)的波形； （2）试绘出g(

1t)的波形。 2 1-9 信号f(t)的波形如题图1-9所示，绘出下列各函数对t的波形。 (1) f(–t) (2) f(t–2) (3) f(–t+2) (4) f() (5) f(?

t2tdt?1) (6) [f(?1)] 2dt2

题图1–8

（7）

?t??f(2??)d?

1–10 试判别下列系统是否为线性系统，

并说明理由。其中x（t）为激励，q（0）为 初始状态，y（t）为响应。

（1）y（t）= q2（0）+ x2（t）， t≥0 （2）y（t）= q（0）log x（t）， t≥0

（3）y（t）= q（0）+

?t??x(?)d?， t≥0

dx（t）， t≥0 dt（4）y（t）= logq（0）+