【附15套精选模拟试卷】河北省唐山市滦县二中2020届高三期中考试数学(文)试卷含解析

18．（12分）为促进义务教育的均衡发展，各地实行免试就近入学政策，某地区随机调查了50人，他们年龄的频数分布及赞同“就近入学”人数如表： 年龄 频数 赞同 ?5,15? 5 4 ?15,25? 10 5 ?25,35? 15 ?35,45? 10 8 ?45,55? 5 2 ?55,65? 5 1 12 （Ⅰ）在该样本中随机抽取3人，求至少2人支持“就近入学”的概率；若对年龄在

?5,15?，?35,45?的被

调查人中各随机选取2两人进行调查，记选中的4人支持“就近入学”人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望。

19．（12分）如图，在宽为14m的路边安装路灯，灯柱OA高为8m，灯杆PA是半径为rm的圆C的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10m，到灯柱所在直线的距离为2m．设Q为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段PQ上．

当r为何值时，点Q恰好在路面中线上?记圆心C在路面

上的射影为H，且H在线段OQ上，求HQ的最大值．

20．（12分） “回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．求X为“回文数”的概率； 设随机变量表示X，Y两数中“回文数”的个数，求的概率分布和数学期望． 21．（12分）工程队将从A到D修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（A,B,C,D在同一水平面内），求A,D之间的距离.

x2y2C:2?2?1?a?b?0?F??1,0?ab22．（10分）已知椭圆的左焦点为，过F且垂直于x轴的直线被椭圆

截得的弦长为3.求椭圆C的方程；已知点

M??4,0?，过F作直线l交椭圆于A,B两点，证明：

?FMA??FMB.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。 1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．C 7．D 8．D 9．B 10．C 11．D 12．A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．1或2 14．9?42 10315．3

16．3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． (1)

π. 42. 2(2) BP?【解析】 【分析】

AC，AA1?为正交基建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求得 (1) 以?AB，uuuvuuuvπyz?，BP??BA1，0???1， 直线MP与直线AC所成的角的大小为．（2）设P?x，，4??2????1?利用向量法求得直线A1B与平面PMN所成角的正弦值?1???22??21??1??1???????1?222?2?????2?7，解得7??14，即得线段BP的长度．

【详解】

以?AB，AC，AA1?为正交基建立如图所示的空间直角坐标系，

则A?0，，00?，B?2，，00?，C?0，，20?，A1?0，，02?，M?1，1，0?． （1）若P是线段A1B的中点， 则

，

，

．

所以．

又，所以． 所以直线MP与直线AC所成的角的大小为．

（2）由，得

． 设，

，，

则

，

所以，所以，所以设平面的法向量，

则

，

，

．所以取．

因为，设直线与平面所成角为．

由，得．

所以【点睛】

，所以．

（1）本题主要考查向量法求异面直线所成的角和直线和平面所成的角，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向

量法）18．（Ⅰ）

ruuur，其中AB是直线l的方向向量，n是平面的法向量，?是直线和平面所成的角.

124. 175（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值；

(Ⅱ)首先确定X可能的取值，然后求解相应的概率值可得分布列，最后计算数学期望即可. 【详解】

（Ⅰ）设“在该样本中随机抽取3人，至少2人支持就近入学”的事件为A，则至少2人支持“就近入学”

213C32C18?C32124?的概率P?A??． 3C50175（Ⅱ）随机变量X的可能取值为1，2，3，4，

1112221C8C27C4C2C4C2C42P?X?1??2?2?，P?X?2??2?2?2?2?，

C5C10225C5C10C5C104511212C8C2C4C82104C8228C4C4P?X?3??2?2?2?2?，P?X?4??2?2?，

C5C10C5C10225C5C1075∴X的分布列为：

X 1 2 3 4