2018-2019学年江苏省泰州中学高二下学期期末数学(理)试题附解析

因此VABO的面积为SVABO?【点睛】

13?AB?d?15. 24

本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数下的弦长问题，属于常考题型.

17．骰子是一种质地均匀的正方体玩具，它的六个面上分别刻有1到6的点数．甲、乙两人玩一种“比手气”的游戏．游戏规则如下：在一局游戏中，两人都分别抛掷同一颗骰子两次，若某人两次骰子向上的点数之差的绝对值不大于2，就称他这局“好手气”．

（1）求甲在一局游戏中获得“好手气”的概率；

（2）若某人获得“好手气”的局数比对方多，称他“手气好”．现甲、乙两人共进行了3局“比手气”游戏，求甲“手气好”的概率． 【答案】（1）

2242. ；（2）

3729【解析】（1）根据题意，分别求出先后抛掷同一颗骰子两次，以及获得“好手气”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；

（2）根据题意，得到甲、乙两人共进行了3局“比手气”游戏，则甲“手气好”共包含三种情况：甲获得3次“好手气”，乙少于3次；甲获得2次“好手气”，乙少于2次；甲获得1次“好手气”，乙获得0次；再由题中数据，即可求出结果. 【详解】

（1）由题意，甲先后抛掷同一颗骰子两次，共有6?6?36种情况；

获得“好手气”包含：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)，共24种情况，

因此甲在一局游戏中获得“好手气”的概率为P?242?； 3632； 3（2）由（1）可得，甲乙在一局游戏中获得“好手气”的概率均为

现甲、乙两人共进行了3局“比手气”游戏，则甲“手气好”共包含三种情况：甲获得3次“好手气”，乙少于3次；甲获得2次“好手气”，乙少于2次；甲获得1次“好手气”，乙获得0次； 所以甲“手气好”的概率为：

3322323??21121121242?2???2????????????211?1??C??C???C???. ????3?3??3???????????3333333333729??????????????????????【点睛】

本题主要考查独立重复试验的概率，以及古典概型的概率计算，属于常考题型.

18．如图，在正四棱锥P?ABCD中，O为底面ABCD的中心，已知OA?OB?OP?1，点M为棱PA上一点，

uuuruuuruuur以{OA,OB,OP}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）若M为PA的中点，求直线BM与平面PAD所成角的正弦值； （2）设二面角P?MD?B的平面角为?，且|cos?|?15，试判断点M的位置． 15【答案】（1）

22；（2）点M位于棱PA的三等分点处. 3uuur【解析】先由题意，得到A，B，P，D的坐标，以及向量PA，PD的坐标；

uuururuuuurur?11?（1）根据题中条件，得到M?,0,?，求出平面PAD的一个法向量m，根据sin??cos?m,BM?，结合题

?22?中条件，即可求出结果；

uuuuruuur（2）先由题意，得到存在实数???0,1?，使得PM??PA???,0,???，进而得到M??,0,1???，分别求出平面

PMD和平面MBD的一个法向量，根据向量夹角公式，结合题中条件，列出等式，求出?，即可得出结果.

【详解】

uuuruuurP(0,0,1)由题意，可得A?1,0,0?，B?0,1,0?，，D?0,?1,0?，则PA??1,0,?1?，PD??0,?1,?1?，

（1）因为M为PA的中点，所以M??11?,0,?， 22??uuuur?11?BM??,?1,?， 因此

2??2ur设平面PAD的一个法向量为m?(x,y,z)，

uuuvuuuvvvur?m?PA?m?PA?x?z?0?z?1v，即?vuuuv则?vuuu，令x?1，则?，即m?(1,?1,1)，

y??1??m?PD??y?z?0?m?PDuruuuururuuuurm?BMsin??cos?m,BM??uruuuur?设直线BM与平面PAD所成角?，则

m?BM（2）因为点M为棱PA上一点，

23?32?223；

uuuuruuur所以存在实数???0,1?，使得PM??PA???,0,???，

uuuuruuuruuuur则OM?OP?PM??0,0,1????,0,??????,0,1???，即M??,0,1???； uuuruuuur所以MB????,1,??1?，MD????,?1,??1?；

因为平面PMD与平面PAD是同一平面，因此其一个法向量为m?(1,?1,1)；

urr设平面MBD的一个法向量为n??x1,y1,z1?，

vvvuuuvuuu??n?y1?0n?MB???x1?y1?(??1)z1?0?MB?uuuuvuv，即?v则?vuuu，则?，

?x?(??1)zn?MD???x?y?(??1)z?0n?MD?1?1111??r令x1???1，则z1??，即n????1,0,??，

因为二面角P?MD?B的平面角为?，且|cos?|?15， 15urrurr2??1m?n15|cos?|?|cos?m,n?|???urr所以，

2215m?n3?(??1)??21或??， 33uuuur2uuuruuuur1uuur即PM?PA或PM?PA，

33解得：??

因此，点M位于棱PA的三等分点处. 【点睛】

本题主要考查求线面角，以及已知二面角的余弦值求其它量的问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.

19．已知f(x)?(x?2)n,n?N*．

2n（1）设f(x)?a0?a1x?a2x?L?anx，

①求a0?a1?a2?L?an；

②若在a0,a1,a2,L,an中，唯一的最大的数是a4，试求n的值； （2）设f(x)?b0?b1(x?1)?b2(x?1)?L?bn(x?1)，求

2n1br． ?r?1r?1n2n?1?n?2. 【答案】（1）①3；②12或13；（2）

n?1nn2n【解析】（1）根据题意，得到(x?2)?a0?a1x?a2x?L?anx；

①令x?1，即可求出结果；

②根据二项展开式的通项公式， 先得到通项为Tr?1?C2出结果；

rnn?r4n?45n?5?Cn2?Cn2x，再由题意，得到?4n?4，求解，即可得3n?3C2?C2n?nrr（2）先由题意，得到(x?2)n??1?(x?1)??b0?b1(x?1)?b2(x?1)2?L?bn(x?1)n，进而得出br?Cn，化简

n111rr?1br=?Cn??Cn?1，再根据二项式系数之和的公式，即可求出结果. r?1r?1n?1【详解】

n2n（1）因为f(x)?(x?2)?a0?a1x?a2x?L?anx， n①令x?1，则a0?a1?a2?L?an?3；

rn?rr②因为二项式(2?x)n展开式的通项为：Tr?1?Cn2x，

又在a0,a1,a2,L,an中，唯一的最大的数是a4，

5?An4An?2?4?55n?5?Cn2?n?14?A4A5，即，解得，即11?n?14， ?4?3n?33n?11?Cn2??An?2?An4?A33?A44n?4?Cn2所以?4n?4?Cn2又n?N*，所以n?12或13；

（2）因为f(x)?(x?2)n??1?(x?1)??b0?b1(x?1)?b2(x?1)2?L?bn(x?1)n，

r根据二项展开式的通项公式，可得，br?Cn，

n111n!1(n?1)!1rr?1b=?C??????Cn所以rn?1， r?1r?1r?1r!(n?r)!n?1(r?1)!(n?r)!n?1112n?1?(n?1)?12n?1?n?223n?1br???Cn?1?Cn?1?????Cn?1???. 则?r?1n?1n?1n?1r?1n【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项公式定理即可，属于常考题型.

20．已知一个口袋中有m个红球和n个白球（m,n?N*，m?2，n?2），这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个摸出（不放回），直到红球全部被摸出为止． （1）当m?2，n?3时，试求“摸球次数为5”的概率；

（2）随机变量X表示摸球次数，E(X)是X的数学期望．写出X的概率分布列，并求E(X)． 【答案】（1）

2m(m?n?1). ；（2）分布列见详解；E(X)?5m?1【解析】（1）根据题意，先得出红球全部摸出所包含的情况，再求出摸球5次所包含的基本事件个数，进而可求出