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2018-2019学年江苏省泰州中学高二下学期期末数学(理)试题附解析

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  • 2025/7/11 2:47:32

因此VABO的面积为SVABO?【点睛】

13?AB?d?15. 24

本题主要考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及参数下的弦长问题,属于常考题型.

17.骰子是一种质地均匀的正方体玩具,它的六个面上分别刻有1到6的点数.甲、乙两人玩一种“比手气”的游戏.游戏规则如下:在一局游戏中,两人都分别抛掷同一颗骰子两次,若某人两次骰子向上的点数之差的绝对值不大于2,就称他这局“好手气”.

(1)求甲在一局游戏中获得“好手气”的概率;

(2)若某人获得“好手气”的局数比对方多,称他“手气好”.现甲、乙两人共进行了3局“比手气”游戏,求甲“手气好”的概率. 【答案】(1)

2242. ;(2)

3729【解析】(1)根据题意,分别求出先后抛掷同一颗骰子两次,以及获得“好手气”所包含的基本事件个数,基本事件个数比即为所求概率;

(2)根据题意,得到甲、乙两人共进行了3局“比手气”游戏,则甲“手气好”共包含三种情况:甲获得3次“好手气”,乙少于3次;甲获得2次“好手气”,乙少于2次;甲获得1次“好手气”,乙获得0次;再由题中数据,即可求出结果. 【详解】

(1)由题意,甲先后抛掷同一颗骰子两次,共有6?6?36种情况;

获得“好手气”包含:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共24种情况,

因此甲在一局游戏中获得“好手气”的概率为P?242?; 3632; 3(2)由(1)可得,甲乙在一局游戏中获得“好手气”的概率均为

现甲、乙两人共进行了3局“比手气”游戏,则甲“手气好”共包含三种情况:甲获得3次“好手气”,乙少于3次;甲获得2次“好手气”,乙少于2次;甲获得1次“好手气”,乙获得0次; 所以甲“手气好”的概率为:

3322323??21121121242?2???2????????????211?1??C??C???C???. ????3?3??3???????????3333333333729??????????????????????【点睛】

本题主要考查独立重复试验的概率,以及古典概型的概率计算,属于常考题型.

18.如图,在正四棱锥P?ABCD中,O为底面ABCD的中心,已知OA?OB?OP?1,点M为棱PA上一点,

uuuruuuruuur以{OA,OB,OP}为基底,建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)若M为PA的中点,求直线BM与平面PAD所成角的正弦值; (2)设二面角P?MD?B的平面角为?,且|cos?|?15,试判断点M的位置. 15【答案】(1)

22;(2)点M位于棱PA的三等分点处. 3uuur【解析】先由题意,得到A,B,P,D的坐标,以及向量PA,PD的坐标;

uuururuuuurur?11?(1)根据题中条件,得到M?,0,?,求出平面PAD的一个法向量m,根据sin??cos?m,BM?,结合题

?22?中条件,即可求出结果;

uuuuruuur(2)先由题意,得到存在实数???0,1?,使得PM??PA???,0,???,进而得到M??,0,1???,分别求出平面

PMD和平面MBD的一个法向量,根据向量夹角公式,结合题中条件,列出等式,求出?,即可得出结果.

【详解】

uuuruuurP(0,0,1)由题意,可得A?1,0,0?,B?0,1,0?,,D?0,?1,0?,则PA??1,0,?1?,PD??0,?1,?1?,

(1)因为M为PA的中点,所以M??11?,0,?, 22??uuuur?11?BM??,?1,?, 因此

2??2ur设平面PAD的一个法向量为m?(x,y,z),

uuuvuuuvvvur?m?PA?m?PA?x?z?0?z?1v,即?vuuuv则?vuuu,令x?1,则?,即m?(1,?1,1),

y??1??m?PD??y?z?0?m?PDuruuuururuuuurm?BMsin??cos?m,BM??uruuuur?设直线BM与平面PAD所成角?,则

m?BM(2)因为点M为棱PA上一点,

23?32?223;

uuuuruuur所以存在实数???0,1?,使得PM??PA???,0,???,

uuuuruuuruuuur则OM?OP?PM??0,0,1????,0,??????,0,1???,即M??,0,1???; uuuruuuur所以MB????,1,??1?,MD????,?1,??1?;

因为平面PMD与平面PAD是同一平面,因此其一个法向量为m?(1,?1,1);

urr设平面MBD的一个法向量为n??x1,y1,z1?,

vvvuuuvuuu??n?y1?0n?MB???x1?y1?(??1)z1?0?MB?uuuuvuv,即?v则?vuuu,则?,

?x?(??1)zn?MD???x?y?(??1)z?0n?MD?1?1111??r令x1???1,则z1??,即n????1,0,??,

因为二面角P?MD?B的平面角为?,且|cos?|?15, 15urrurr2??1m?n15|cos?|?|cos?m,n?|???urr所以,

2215m?n3?(??1)??21或??, 33uuuur2uuuruuuur1uuur即PM?PA或PM?PA,

33解得:??

因此,点M位于棱PA的三等分点处. 【点睛】

本题主要考查求线面角,以及已知二面角的余弦值求其它量的问题,灵活运用空间向量的方法求解即可,属于常考题型.

19.已知f(x)?(x?2)n,n?N*.

2n(1)设f(x)?a0?a1x?a2x?L?anx,

①求a0?a1?a2?L?an;

②若在a0,a1,a2,L,an中,唯一的最大的数是a4,试求n的值; (2)设f(x)?b0?b1(x?1)?b2(x?1)?L?bn(x?1),求

2n1br. ?r?1r?1n2n?1?n?2. 【答案】(1)①3;②12或13;(2)

n?1nn2n【解析】(1)根据题意,得到(x?2)?a0?a1x?a2x?L?anx;

①令x?1,即可求出结果;

②根据二项展开式的通项公式, 先得到通项为Tr?1?C2出结果;

rnn?r4n?45n?5?Cn2?Cn2x,再由题意,得到?4n?4,求解,即可得3n?3C2?C2n?nrr(2)先由题意,得到(x?2)n??1?(x?1)??b0?b1(x?1)?b2(x?1)2?L?bn(x?1)n,进而得出br?Cn,化简

n111rr?1br=?Cn??Cn?1,再根据二项式系数之和的公式,即可求出结果. r?1r?1n?1【详解】

n2n(1)因为f(x)?(x?2)?a0?a1x?a2x?L?anx, n①令x?1,则a0?a1?a2?L?an?3;

rn?rr②因为二项式(2?x)n展开式的通项为:Tr?1?Cn2x,

又在a0,a1,a2,L,an中,唯一的最大的数是a4,

5?An4An?2?4?55n?5?Cn2?n?14?A4A5,即,解得,即11?n?14, ?4?3n?33n?11?Cn2??An?2?An4?A33?A44n?4?Cn2所以?4n?4?Cn2又n?N*,所以n?12或13;

(2)因为f(x)?(x?2)n??1?(x?1)??b0?b1(x?1)?b2(x?1)2?L?bn(x?1)n,

r根据二项展开式的通项公式,可得,br?Cn,

n111n!1(n?1)!1rr?1b=?C??????Cn所以rn?1, r?1r?1r?1r!(n?r)!n?1(r?1)!(n?r)!n?1112n?1?(n?1)?12n?1?n?223n?1br???Cn?1?Cn?1?????Cn?1???. 则?r?1n?1n?1n?1r?1n【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用,熟记二项公式定理即可,属于常考题型.

20.已知一个口袋中有m个红球和n个白球(m,n?N*,m?2,n?2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个摸出(不放回),直到红球全部被摸出为止. (1)当m?2,n?3时,试求“摸球次数为5”的概率;

(2)随机变量X表示摸球次数,E(X)是X的数学期望.写出X的概率分布列,并求E(X). 【答案】(1)

2m(m?n?1). ;(2)分布列见详解;E(X)?5m?1【解析】(1)根据题意,先得出红球全部摸出所包含的情况,再求出摸球5次所包含的基本事件个数,进而可求出

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因此VABO的面积为SVABO?【点睛】 13?AB?d?15. 24 本题主要考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及参数下的弦长问题,属于常考题型. 17.骰子是一种质地均匀的正方体玩具,它的六个面上分别刻有1到6的点数.甲、乙两人玩一种“比手气”的游戏.游戏规则如下:在一局游戏中,两人都分别抛掷同一颗骰子两次,若某人两次骰子向上的点数之差的绝对值不大于2,就称他这局“好手气”. (1)求甲在一局游戏中获得“好手气”的概率; (2)若某人获得“好手气”的局数比对方多,称他“手气好”.现甲、乙两人共进行了3局“比手气”游戏,求甲“手气好”的概率. 【答案】(1)2242. ;(2)3729【解析】(1)根据题意,分别求出先后抛掷同一颗骰子两次,以及获得“好手气

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