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2018-2019学年江苏省泰州中学高二下学期期末数学(理)试题附解析

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  • 2025/7/12 3:37:08

【详解】

由题意,画出平行六面体,连接BC1,AC1, 则AC1?AB?AD?AA1?uuuuruuuruuuruuur?uuuruuuruuurAB?AD?AA1?2 uuur2uuur2uuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuur?AB?AD?AA1?2AB?AD?2AB?AA1?2AD?AA1,

因为AB?1,AD?1,AA1?1,?BAD??A1AD??A1AB?60?,

uuuur所以AC1?1?1?1?2cos?BAD?2cos?BAA1?2cos?DAA1?6,

又BC1?AD1?AD?AA1?uuuuruuuuruuuruuuruuur2uuur2uuuruuurAD?AA1?2AD?AA1?1?1?2cos?DAA1?3,

AC12?AB2?BC126?1?36. ??所以cos?C1AB?2?AC1?AB32?6?1故答案为:【点睛】

本题主要考查空间向量的方法求夹角问题,熟记空间向量的运算法则,以及余弦定理即可,属于常考题型. 12.如图,在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和,若第n?1行中的三个连续的数之比是2∶3∶4,则n的值是_________.

6. 3

【答案】34

m?Cn2??m?13?Cn【解析】先根据题意,设第n?1行中从第m?1项开始,连续的三个连续的数之比是2∶3∶4,得到?m?1,求

?Cn?3m?2?4?Cn解,即可得出结果. 【详解】

根据题意,可得第n?1行的数分别为:Cn,Cn,Cn,???,Cn,

设第n?1行中从第m?1项开始,连续的三个连续的数之比是2∶3∶4,

m?Cn2?m?12???m?1?3?5m?2n?3?0?n?m3?Cn则有?m?1,即?,即?,解得:n?34.

m?237m?3n?11?0???Cn?3?m?2???n?m?14C4?n012n故答案为:34. 【点睛】

本题主要考查杨辉三角形的应用,以及组合数的性质及运算,熟记组合数的运算公式即可,属于常考题型.

二、解答题

13.把一根长度为5米的绳子拉直后在任意位置剪断,则剪得两段的长都不小于1米的概率为________. 【答案】

3 5【解析】根据与长度有关的几何概型的计算公式,即可求出结果. 【详解】

“把一根长度为5米的绳子拉直后在任意位置剪断,则剪得两段的长都不小于1米”, 则能剪断的区域长度为:5?2?3, 故所求的概率为:P?故答案为:【点睛】

本题主要考查与长度有关的几何概型,熟记计算公式即可,属于基础题型.

14.3名男生和3名女生站成一排照相,若男生甲不站在两端,3名女生中,有且只有两个女生相邻,则不同排法的种数为___________. 【答案】288

【解析】先计算有且只有两个女生相邻的排列种数,再计算“在3名女生中,有且只有两个女生相邻,且男生甲在两端的排列”种数,即可得出结果. 【详解】

3. 53. 5

2223先考虑3名女生中,有且只有两个女生相邻的排列,共有C3A2A4A3?432种,

2222在3名女生中,有且只有两个女生相邻,且男生甲在两端的排列有2?C3A2A3A2?144种,

所以,满足题意的不同排法的种数为:432?144?288种. 故答案为:288. 【点睛】

本题主要考查计数原理的应用,属于常考题型.

15.为了更好的了解某校高二学生化学的学业水平学习情况,从800名高二学生中随机抽取n名学生,将他们的化学模拟考试成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),L,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.据统计在[50,60)内有10人.

(1)求n及图中实数a的值;

(2)试估计该校高二学生在这次模拟考试中,化学成绩合格(不低于60分)的人数; (3)试估计该校高二全体学生在这次模拟考试中的化学平均成绩. 【答案】(1)n?100;a?0.030;(2)680;(2)74.

【解析】(1)根据在[50,60)内有10人,以及频率分布直方图,即可列式求出n;根据频率之和为1,即可列式求出

a的值;

(2)根据频率分布直方图,求出成绩合格的频率,即可得出结果; (3)根据每组的中间值乘以该组的频率,再求和,即可得出平均值. 【详解】

(1)因为在[50,60)内有10人,考试成绩在[50,60)的频率为0.01?10?0.1, 所以n?10?100; 0.1又由频率分布直方图可得:?0.005?0.01?0.02?0.025?a?0.01??10?1, 解得:a?0.030;

(2)由频率分布直方图可得:化学成绩合格的频率为1??0.005?0.01??10?0.85,

因此,化学成绩合格(不低于60分)的人数为800?0.85?680;

(3)由频率分布直方图可得,该校高二全体学生在这次模拟考试中的化学平均成绩为:

45?0.05?55?0.1?65?0.2?75?0.3?85?0.25?95?0.1?74.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图的应用,属于基础题型.

??x?3?3t16.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为?(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的

??y?t正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程是??4cos?. (1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程; (2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求VABO的面积.

【答案】(1)曲线C的直角坐标方程为?x?2??y2?4;直线l的普通方程为x?3y?3?0;(2)2315. 4【解析】(1)由极坐标与直角坐标的互化公式,即可得出曲线C的直角坐标方程;根据直线l的参数方程,消去参数,即可得到普通方程;

?3x?3?t??2,代入x2?y2?4x,

(2)先由题意,先设A,B对应的参数分别为t1,t2,将直线的参数方程化为??y?1t?2?根据参数下的弦长公式求出AB,再由点到直线距离公式,求出点O到直线l:x?3y?3?0的距离,进而可求出三角形的面积. 【详解】

22(1)由??4cos?得?2?4?cos?,即x?y?4x,即曲线C的直角坐标方程为?x?2??y2?4;

2??x?3?3t由?消去t可得:x?3y?3?0,即直线l的普通方程为x?3y?3?0; ??y?t(2)因为直线l与曲线C交于A,B两点,设A,B对应的参数分别为t1,t2,

?3x?3?t???x?3?3t?222由?可化为?,代入x?y?4x得,t2?3t?3?0, ??y?t?y?1t?2?则有t1?t2??3,t1t2??3, 因此AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2?3?12?15,

?31?3?3, 2

又点O到直线l:x?3y?3?0的距离为d?

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【详解】 由题意,画出平行六面体,连接BC1,AC1, 则AC1?AB?AD?AA1?uuuuruuuruuuruuur?uuuruuuruuurAB?AD?AA1?2 uuur2uuur2uuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuur?AB?AD?AA1?2AB?AD?2AB?AA1?2AD?AA1, 因为AB?1,AD?1,AA1?1,?BAD??A1AD??A1AB?60?, uuuur所以AC1?1?1?1?2cos?BAD?2cos?BAA1?2cos?DAA1?6, 又BC1?AD1?AD?AA1?uuuuruuuuruuuruuuruuur2uuur2uuuruuurAD?AA1?2AD?AA1?1?1?2cos?DAA1?3, AC12?AB2?BC126

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