微分几何习题全解（梅向明高教版第四版）

微分几何主要习题解答

第一章 曲线论

§2 向量函数

?? 5. 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) ×

?????= 0。 r'(t)? 分析：一个向量函数r(t)一般可以写成r(t)=?(t)e(t)的形式，其中e(t)为单位向

量函数，?(t)为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向，即e(t)为常向量，（因为e(t)的长度固定）。

证 对于向量函数r(t)，设e(t)为其单位向量，则r(t)=?(t)e(t)，若r(t)具有固

????????定方向，则e(t)为常向量，那么r'(t)=?'(t)e，所以 r×r'=??'（e×e）=0。

???????反之，若r×r'=0 ，对r(t)=?(t)e(t) 求微商得r'=?'e+????????????e'，于是r×

???????2r'=?（e×e'）=0，则有 ? = 0 或e×e'=0 。当?(t)= 0??时，r(t)=0可与任意方

向平行；当?????????????

0时，有e×e'=0，而（e×e')2=e2e'2-(e·e')2＝e'2，（因为e????具有固定长， e·e'= 0） ，所以 e'=0?，即e为常向量。所以，r(t)具有固定方向。

?????6．向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是（rr'r''）=0 。

分析：向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t)，使

???r(t)·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n??及n与r'，r''的关系。

?????证 若r(t)平行于一固定平面π，设n是平面π的一个单位法向量，则n为常向

?????????nnnr'r''r'r量，且r(t)· = 0 。两次求微商得· = 0 ，· = 0 ，即向量r，，''垂直

????于同一非零向量n，因而共面，即（rr'r''）=0 。

????????????反之, 若（rr'r''）=0，则有r×r'=0 或r×r'?0。若r×r'=0，由上题知

??r(t)具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r?×r'???0，则存在数量函数?(t)、

????(t)，使r''= ?r+?r' ①

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r?tt微分几何主要习题解答

?0??令n=r??×r'，则n?，且r(t)⊥n(t)。对n=r×r'求微商并将①式代入得

?n?，于是n??×n'=0??????????n'=r×r''=?（r×r'）=???，由上题知n有固定方向，而r(t)??⊥n，即r(t)平行于固定平面。

§3 曲线的概念

1．求圆柱螺线x=cost，y=sint，z=t在（1,0,0）的切线和法平面。

?=0, r'(0)={ -sint解 令cost=1,sint=0, =0得曲线在(0,1,1)的切线为

?x?10?y1?z1,cost,1}|

t?0 ={0,1,1},

，法平面为 y + z = 0 。

2．求三次曲线r?{at,bt2,ct3}在点t0的切线和法平面。

x?at0y?bt0z?ct0???解 r'(t0)?{a,2bt0,3ct02}，切线为2a2bt03ct023，

法平面为 a(x?at0)?2bt0(y?bt02)?3ct02(z?ct03)?0。

3. 证明圆柱螺线r={ a cos?定角。

?r证明 '= {-asin???r'?k=???|r||e|ba2?,asin?,b?} (???????)的切线和z轴作固

,acos?,b},设切线与

z轴夹角为?,则cos?

?b2?为常数，故?为定角（其中k为z轴的单位向量）。

4. 求悬链线r={t解

?，acoshtata}（-??t??）从t=0起计算的弧长。

1?sinh2ta?r'= {1，sinhta?r}，|' | =

= coshta， ｓ＝

?t0coshtadt?asinh 。

22９．求曲线x?3ay,2xz?a3ay?在平面3 与y = 9a之间的弧长。

解 曲线的向量表示为＝{x,x323a,a22x}，曲面与两平面y?a3 与y = 9a的交

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222244??xaxaxa点分别为x=a 与x=3a , r'＝{1,2,?2}，｜r'｜＝1?＝2?，?24a2xa44xa2x所求弧长为s??3aa(xa22??a222x)dx?9a 。

10. 将圆柱螺线r={acost，asint?解 r'= { -asint，bt}化为自然参数表示。

t0,acost,b}，s = ?sa2?|r'|dt?22a?bt，所以t?sa2?b2，

代入原方程得 r={acos??b2, asinas2?b2,

abs2?b2}

11.求用极坐标方程???(?)给出的曲线的弧长表达式。 解 由x??(?)cos?，y??(?)sin?知r'={?'(?)cos??'(?)sin??-

?(?)sin?，

+?(?)cos??}，|r'| =

22?(?)??'(?)，从?0到?的曲线的弧长是

s=???022?(?)??'(?)d? 。

§4 空间曲线

1．求圆柱螺线x=acost，y=asint，z= bt在任意点的密切平面的方程。

,0 }

?解 r'={ -asint?,acost,b},r''={-acost,- asint所以曲线在任意点的密切平面的方程为

x?acost?asint?acosty?asintacost?asintz?btb0 = 0 ，即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0 .

2. 求曲线r = { tsint,tcost,tet } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

?r解 原点对应t=0 , '(0)={ sint+tcost,cost- tsint?,e+tett}t?0={0,1,1}，

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?r''(0)?{2cost+ tcost,cost- tsint,2e+tett}t?0 ={2,0,2} ，

所以切线方程是

xx0?y1?z1 ，法面方程是 y + z = 0 ；

y10z1=0 ，即x+y-z=0 ， 2密切平面方程是02主法线的方程是???x?y?z?0y?z?0 即

x2?y?1x1?z1y1 ；

?z?1从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式

3．证明圆柱螺线x=acost，y=asint??? 。

，z= bt的主法线和z轴垂直相交。

???证 r'={ -asint,acost,b}, r''={-acost,- asint,0 } ，由r'⊥r''知r''为

??主法线的方向向量，而r''?k?0 所以主法线与z轴垂直；主法线方程是

x?acostcost?y?asintsint?z?bt0

与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。

4.在曲线x = cos?cost ,y = cos?sint , z = tsin?的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。

解 r'= {-cos?sint, cos?cost, sin? } , r''={ -cos?cost,- cos?sint , 0 }

??r'?r''?????{sin?sint ,- sin?cost , cos? }

|r'?r''|???新曲线的方程为r={ cos?cost + sin?sint ，cos?sint- sin?cost ，tsin? + cos? }

?对于新曲线r'={-cos?sint+ sin?cost ，cos?cost+ sin?sint，sin? }={sin(?-t),

?cos(?-t), sin?} , r''={ -cos(?-t), sin(?-t),0} ,其密切平面的方程是

x?cosacostsin(a?t)?cos(a?t)y?cosasintcos(a?t)sin(a?t)z?tsinasina0?0

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