2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5曲线与方程学案湘教版选修2 - 1

2．5 曲线与方程

1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步

感受数形结合的基本思想．

2．掌握求曲线方程的步骤与一般方法． 3.体会解析几何的本质，用坐标法研究几何图形的知识．

4．了解圆锥曲线的统一定义并能利用定义解决一些简单应用问题．

1．方程的曲线与曲线的方程的意义

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

点在曲线上?点的坐标满足方程．即： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，方程叫曲线的方程，曲线叫方程的曲线． 2．求曲线的方程的步骤

(1)建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐标x，y表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3.圆锥曲线的统一定义

任意给定常数e(e>0)，点F和直线l(F?l)，设动点P到F的距离和到l的距离之比等于e，则P的轨迹是圆锥曲线．F是这条圆锥曲线的焦点，l称为它的准线．当01时是双曲线．

x2y2a2x2y2a2

椭圆2＋2＝1有两条准线x＝±，双曲线2－2＝1有两条准线x＝±．

abcabc

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)x＋y＝1(x＞0)表示的曲线是单位圆．( )

(2)若点M(x，y)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点M在曲线f(x，y)＝0上．( )

2

2

x2

(3)方程y＝x与方程y＝表示同一曲线．( )

x答案：(1)× (2)√ (3)×

2．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是( )

A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上 B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0

C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上 D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0 答案：D

3．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？ 解：若点P在曲线C上， 则f(x0，y0)＝0；

若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，

所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.

曲线与方程的概念

(1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命

题中正确的是( )

A．方程f(x，y)＝0表示的曲线是C B．方程f(x，y)＝0表示的曲线不一定是C C．f(x，y)＝0是曲线C的方程

D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 (2)已知方程x＋(y－1)＝10.

①判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；

2

2

??②若点M?，－m?在此方程表示的曲线上，求出m的值． ?2?

【解】 (1)选B.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”但“以方程f(x，

my)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确．故选B.

(2)①因为1＋(－2－1)＝10，(2)＋(3－1)≠10，

所以点P(1，－2)在方程x＋(y－1)＝10表示的曲线上，而点Q(2，3)不在方程x＋(y－1)＝10表示的曲线上．

2

2

2

2

2

2

2

2

?m??m?222

②若点M?，－m?在方程x＋(y－1)＝10所表示的曲线上，则??＋(－m－1)＝10，

?2??2?

18

解之得m＝2或m＝－.

5

2

判定曲线和方程对应关系的两个关注点

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性． [注意] 只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．

判断下列命题是否正确：

(1)设点A(2，0)，B(0，2)，则线段AB的方程是x＋y－2＝0； (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x－y＝0.

解：(1)方程x＋y－2＝0表示一条直线，坐标满足该方程的点如(－1，3)等不在线段

2

2

AB上，故命题错误．

(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y＝±x，满足x－y＝0，反过来坐标满足方程x－y＝0的点到两坐标轴的距离相等，故命题正确．

由方程判断曲线

(1)方程(x＋y－2)·x＋y－9＝0表示的曲线是( ) A．一个圆和一条直线 B．半个圆和一条直线 C．一个圆和两条射线 D．一个圆和一条线段

|x|

(2)如图所示，方程y＝2表示的曲线是( )

2

2

2

2

2

2

x

【解析】 (1)(x＋y－2)·x＋y－9＝0变形为x＋y－9＝0或?

2

2

2

2

2

2

?x＋y－2＝0，?

2

2

??x＋y－9≥0.

表示以

原点为圆心，3为半径的圆和直线x＋y－2＝0在圆x＋y－9＝0外面的两条射线．故选C.

1

，x>0，?|x|?x(2)因为y＝?

x1??－x，x<0，

2

所以函数值恒为正，且在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．故选B. 【答案】 (1)C (2)B

若把本例(1)中的方程改为(x＋y－1)·x－1＝0，又表示什么曲线？

解：由方程(x＋y－1)·x－1＝0可得

???x－1≥0，?x－1≥0，?或? ?x＋y－1＝0??x－1＝0，?

即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.故方程表示一条直线x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线x＝1.

(1)方程表示的曲线的判断步骤

(2)判断方程表示曲线的注意事项

①方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线． ②当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．

1.方程(x＋y－1)·(x－3－1)＝0表示的是( )

A．两条互相垂直的直线 B．两条射线

C．一条直线和一条射线 D．一个点(2，－1)

解析：选C.因为(x＋y－1)·(x－3－1)＝0，

??x＋y－1＝0，所以可得?

?x－3≥0，?

或者x－3－1＝0，

也就是x＋y－1＝0(x≥3)或x＝4. 故方程表示一条射线和一条直线．故选C.

2．方程x－1·lg(x＋y－1)＝0所表示的曲线是( )

2

2

解析：选D.原方程等价于x－1＝0或lg(x＋y－1)＝0. 所以x＝1或x＋y－1＝1， 即x＝1或x＋y＝2.

2

22

2

2

2