初三数学期中测试新北师大版

18．（2014?天水）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，∠ADE=∠CDF． （1）求证：AE=CF； （2）连结DB交CF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连结EG、FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．

【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠A=∠C=90°，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF；

（2）求出BE=BF，再求出DE=DF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线可得BD垂直平分EF，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°， 在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE=CF；

（2）四边形DEGF是菱形．

理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC， ∵AE=CF，

∴AB﹣AE=BC﹣CF， 即BE=BF，

∵△ADE≌△CDF， ∴DE=DF，

∴BD垂直平分EF， 又∵OG=OD，

∴四边形DEGF是菱形．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键． 19．（2015?宁波）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．

（1）布袋里红球有多少个？

（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率． 【分析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；

第13页（共15页）

（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率． 【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：

，

解得：x=1，经检验x=1是方程的根， 即红球的个数为1个； （2）画树状图如下：

∴P（摸得两白）=

=．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20．（2006?镇江）春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

【分析】首先根据共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x﹣25）人，每人降低20元，共降低了20（x﹣25）元．实际每人收了[1000﹣20（x﹣25）]元，列出方程求解．

【解答】解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游． 因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25人． 可得方程[1000﹣20（x﹣25）]x=27000．

2

整理得x﹣75x+1350=0， 解得x1=45，x2=30．

当x1=45时，1000﹣20（x﹣25）=600＜700，故舍去x1； 当x2=30时，1000﹣20（x﹣25）=900＞700，符合题意． 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游．

第14页（共15页）

【点评】此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 21．（2009?梅州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．

（1）求证：△CDF∽△BGF；

（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

【分析】（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．

（2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题． 【解答】（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD， ∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，（2分） ∴△CDF∽△BGF．（3分）

（2）解：由（1）△CDF∽△BGF， 又∵F是BC的中点，BF=FC， ∴△CDF≌△BGF， ∴DF=GF，CD=BG，（6分） ∵AB∥DC∥EF，F为BC中点， ∴E为AD中点，

∴EF是△DAG的中位线， ∴2EF=AG=AB+BG．

∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2， ∴CD=BG=2cm．（8分） 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂．

第15页（共15页）