高等数学-第章 多元函数微分法极其应用

章节 第九章多元函数微分法及应用 §3 全微分 课时 2 教 学 目 的 理解全微分的概念，可微分的必要条件及充分条件，可微与连续的关系。 教学 重点 可微分的必要条件及充分条件，可微与连续的关及 突出 系。 方法 教学 难点 可微分的必要条件及充分条件，可微与连续的关及 突破 系。 方法 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P119-P126 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P460-P462 教学思路、主要环节、主要内容 9.3 全微分及其应用 我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。 这里我们以二元函数为例。 函数z=f(x,y)的全增量为：Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y) 全微分的定义 如果函数z=f(x，y)在点（x，y）的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y) 可表示为：Δz=AΔx +BΔy+ o(ρ) (o(ρ)是当ρ→0时的高阶无穷小) 教 其中A,B不依赖于Δx, Δy而仅与x, y有关，?? 学 过 程 (?x)2?(?y)2，则称函数z=f(x，y) 在点（x，y）可微分，而AΔx +BΔy称为函数z=f(x，y)在点（x，y）的全微分，记作dz，即dz=AΔx +BΔy。 如果函数在区域D内各点处都可微分，那末称这函数在D内可微分。 下面讨论函数z=f(x，y)在点（x，y）可微分的条件。 定理1（必要条件）：如果函数z=f(x，y)在点（x，y）可微分，则该函数在点（x，y）的两个偏导数f 'x(x，y)，f 'y(x，y)必定存在，且函数z=f(x，y)在点（x，y）的全微分为dz=f 'x(x, y)△x + f 'y(x, y)△y。 注意：在找函数相应的全增量时，为了使△z与偏导数发生关系，我们可把由(x0,y0)变到(x0+△x,y0+△y)的过程分为两部：先由点(x0,y0)变到点(x0,y0+△y)，再变到点(x0+△x,y0+△y)。 定理2（充分条件）：如果函数z=f(x，y) 偏导数f 'x(x，y)，f 'y(x，y)在点（x，y）连续，则函数在该点可微分。 习惯上，我们将自变量的增量Δx ，Δy分别记作dx，dy，并分别称为自变量x，y的微分。则函数z=f(x，y)的全微分可写为 dz=f 'x(x, y)dx + f 'y(x, y)dy。 微分与连续的关系：如果函数在点(x,y)可微分，则这函数在该点处必定连续。 由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知，当函数z=f(x，y) 偏导数f 'x(x，y)，f 'y(x，y)在点（x，y）连续，且|Δx| ，|Δy|都较小时，就有近似等式 Δz≈dz=f 'x(x, y)△x + f 'y(x, y)△y 可利用此式进行近似计算。 章节 第九章 多元函数微分法及应用 §4 多元复合函数的求导法则 课时 2 教 学 目 的 掌握多元复合函数的求导法则。 教学 重点 及 多元复合函数的求导法则 突出 方法 多元复合函数的求导法则，复合函数的高阶偏导教学 难点 数的计算。恰当选择中间变量并理清因变量、中及 突破 间变量与自变量之间的联系方式，是用链式求导方法 法则计算多元复合函数偏导数的关键所在。 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P128-P146 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P474-P479 教学思路、主要环节、主要内容 9.4 多元复合函数的求导公式 定理： 设u??(x,y),v??(x,y)均在(x, y)处可导,函数z=f (u, v)在对应的(u, v)处有连续的一阶偏导数 那末,复合函数z?f[?(x,y),?(x,y)]在(x, y)处可导,且有链式求导公式： ?z?z?u?z?v?? ?x?u?x?v?x?z?z?u?z?v?? ?y?u?y?v?y教 学 过 程 dz?zdu?zdv??。 dt?udt?vdt如果z=f(u, x, y)具有连续偏导数，而u=φ(x, y)具有连续偏导数，则复合函数 上述公式可以推广到多元，在此不详述。 一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。 全导数 全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已 定理: 如果函数u=φ(t)及ψ（t）都在点t可导，函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ(t), ψ(t)]在点t可导，且其导数可用下列公式计算： z=f(φ (x, y), x, y)对自变量x, y的偏导数可用下列公式计算： ?z?f?u?f?? ?x?u?x?x ?z?f?u?f?? ?y?u?y?y利用复合函数求导法，可以得到全微分形式的不变性。