数学归纳法学道

（选修2-2）第二章 推理与证明

2．3数学归纳法（第2课时）

高二数学 编号：241032 主编人：陈红丽 审核人：张晋平

【学习目标】 1．知识与目标：

会用数学归纳法证明不等式，数的整除性，几何问题等问题。 2．过程与方法：

进一步借助具体实例感悟数学归纳法的归纳奠基与归纳递推。 3．情感态度与价值观：

通过本节课的学习继续培养学生严谨的学习态度，感受数学美。

【情境链接】

前面我们学习了用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式，回忆一下证明法的主要步骤是什么？那么可否用它来证明不等式呢？

【研读文本】

认真思考问题探究中的三个例题，想想每个例题应注意什么问题，关键步骤是哪些？用红笔划出，然后完成实战演练。

【问题探究】

问题1：用数学归纳法证明不等式问题。

1111?????2?*n。 2232n2例1：对于n?N，n?2，求证：

1531?1????2??4422右 证明：（1）n?2，左

11111?2?2???2?2?k 23k（2）假设n=k时成立，即：

1111111?2?2???2??2??k(k?1)2 23k(k?1)2当n?k?1时，左=

11(k?1)?11?2???2??2??kk(k?1)k(k?1)k?1右

1?即n?k?1时成立

综上所述由（1）（2）对一切n?N，n?2命题成立

*问题2：用数学归纳法解决整:除问题。

nn?1例2：设n?N*，f(n)?5?2?3?1．

（1）当n?1,2,3,4时，计算f(n)的值；

（2）你对f(n)的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想． 解：（1）当n?1时，f(1)?5?2?32311?1?1?8?8?1 ?1?32?8?4； ?1?144?8?18； ?1?680?8?85．

n?1 当n?2时，f(2)?5?2?3 当n?3时，f(3)?5?2?342?13?14?1 当n?4时，f(4)?5?2?3*n（2）猜想：当n?N时，f(n)?5?2?3 ①当n?1时，有f(1)?5?2?3那么当n?k?1时，有f(k?1)?5 这里，5和3kk?111?1?1能被8整除．

?1?8能被8整除，命题成立． ②假设当n?k时，命题成立，即f(k)能被8整除，

k?1?2?3(k?1)?1?1?5?5k?6?3k?1?1

kk?1?(5k?2?3k?1?1)?4(5k?3k?1)?f(k)?4(5k?3k?1)．

)必为偶数，从而4(5k?3k?1)能被8整

除．又依归纳假设，f(k)能被8整除，所以f(k?1)能被8整除．这就是说，当n?k?1均为奇数，它们的和(5?3时，命题也成立．

根据（1）和（2），可知命题对任何n?N都成立。

问题3：用数学归纳法解决几何问题。

例3．在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点．问：这条直线将平面分成多少个部分？ 解：记n条直线把平面分成rn个部分，我们通过n?1,2,3,4,5,画出图形观察rn的情况：

*n=1n=2n=3n=4n=5从图中可以看出r1?2?1?1，r2?4?r1?2?1?1?2，r3?7?r2?3?1?1?2?3，

r4?11?r3?4?1?1?2?3?4，r5?16?r4?5?1?1?2?3?4?5．

由此猜想rn?1?1?2?3?4?????n． 接下来用数学归纳法证明这个猜想． （1）当时n?1,2，结论均成立；

（2）假设当n?k时，结论成立，即rk?1?1?2?3?4?????k，

当n?k?1时，第k?1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点，这k个交点将这条直线分成k?1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，

所以rk?1?rk?(k?1)?1?1?2?3?4?????k?(k?1)，结论也成立．

*根据（1）和（2），可知对n?N，均有rn?1?1?2?3?4?????n，即rn?1?n(n?1)． 2注意：通过问题1、2、3的示范，自己要明白数学归纳法可以解决哪类问题，规范数学归纳法的书写过程。

【思维导图】

用框图表示数学归纳法

【实战演练】

111????n?n(n?N*,n?1)2?11. 用数学归纳法证明1?23时，第一步应验证不等式

（ ）

1?22A. 111???323C.

1?

n2

11??223B. 1111????3234D. 1?2. 使不等式2?n?1对任意n?k的自然数都成立的最小k值为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3.若n为大于1的自然数，求证;

nn4.求证当n取正奇数时，x?y能被x?y整除。

11113 ?????n?1n?22n24

5.证明凸n边形的对角线的条数f(n)=n(n-3)/2,(n为不小于4的正整数)。

【困惑问题】学习了本节课，你有什么困惑请及时写下来。