数学归纳法学道

（选修2-2）第二章 推理与证明 2．3数学归纳法（第1课时）

高二数学 编号：241031 主编人：陈红丽 审核人：张晋平

【学习目标】

1．知识与技能：

记住数学归纳法的定义，

严格按照数学归纳法的基本步骤来证明一些简单的数学命题。 2．过程和方法：

借助具体实例感悟数学归纳法的基本思想;

3．情感态度与价值观：

通过本节课的学习培养学生严谨的学习态度，感受数学证明的严谨。

【情境链接】

在必修5中，我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列{an}的通项公式

an?a1?(n?1)d，这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然

数逐一验证．

怎样证明一个与自然数有关的命题呢？

【研读文本】

认真阅读课本第92-95页，从多米诺骨牌游戏中体会数学归纳法的基本思想，完成问题探究中几个问题。

【问题探究】

问题1：数学归纳法的两个步骤是什么？两个步骤又有怎样的联系？

问题2：数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1？

问题3：课本例1是证明等式的问题，第二步归纳递推中证明如何从n=k的情形过渡到n=k+1时的情形是数学归纳法的核心环节，在证明中一定要用上归纳假设，假设是起桥梁作用的，否则就不叫数学归纳法了。在完成两步后必须下结论这样才算完成了证明。不妨看下面的例

子：

用数学归纳法证明：1+5+9+?+(4n-3)=(2n-1)·n ① 当n=1时，左边=1,右边=1，命题成立;

② 假设n=k时，命题成立，即1+5+9+?+(4k-3)=(2k-1)·k, 则当n=k+1时，左边=1+5+9+?+(4k-3)+(4k+1)=(k+1)[1+(4k+1)]/2

=(k+1)(2k+1)=(k+1)[2(k+1)-1]=右边

∴n=k+1时，命题也成立。

由①②知，对一切n?N，命题都成立。 该证明过程正确吗？若不正确，请改正。

问题4：例2是“观察---归纳---猜想----证明”问题。仿造例2过程，完成下列命题。 数列

*1111，，，?，,?,计算S1,S2,S3,由此推测计算钱n项和Sn的公式，并1?22?33?4n?n?1?给出证明。

【思维导图】 用框图表示数学归纳法

【实战演练】

1.证明(n?1)(n?2)(n?3)?(n?n)?2?1?3?(2n?1)(n?N)时， 从n=k到n=k+1，左端需要增加的代数式为（ ）

n*2k?12k?3 A. 2k?1 B. 2(2k?1) C. k?1 D. k?1

2.用数学归纳法证明：“

1?a?a???a2n?11?an?2?(a?1)1?a”，

23在验证n?1时，左端计算所得的项为（ ）

A. 1 B. 1?a C. 1?a?a D. 1?a?a?a

2111????(n?N*)n?1n?22n3.设，那么f(n?1)?f(n)等于（ ） 111111??A. 2n?1 B. 2n?2 C. 2n?12n?2 D. 2n?12n?2

f(n)?

4.若命题p(n)对n=k成立，则它对n?k?2也成立，又已知命题p(2)成立，则下列结论正确的是（ ）

A. p(n)对所有自然数n都成立 B. p(n)对所有正偶数n成立 C. p(n)对所有正奇数n都成立 D. p(n)对所有大于1的自然数n成立

5.某个命题与自然数有关，如果当n=k(k为正整数)时，该命题成立，那么可推

得当n=k+1时命题也成立，现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ） A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立 C.当n=4时该命题不成立 D. 当n=4时该命题成立

2{a}S?nan(n?2)，nn6.已知数列的前n项和而a1?1，通过计算a2,a3,a4，猜想an?（ ）

22222n A. (n?1) B. n(n?1) C. 2?1 D. 2n?1

7.n?N求证：

*1?11111111???????????2342n?12nn?1n?22n。

【困惑问题】学习了本节课，你有什么困惑请及时写下来。