第六章 广义逆矩阵

第六章 广义逆

广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵?1?-逆及矩阵Moore-Penrose逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin逆的基本性质。

§6.1 广义逆矩阵的概述

广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设Cn为复n维向量空间，

Cm?n为复m?n矩阵全体。设矩阵A?Cm?n，考虑线性方程组

Ax?b （6-1） 其中，b?Cm为给定的m维向量，x?Cn为待定的n维向量。

定义1 若存在向量x?Cn满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。

众所周知，当A为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解x?A?1b，其中

A?1是A的逆矩阵。当A为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有

无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求x?Cn，使得

Ax?b?miny?b （6-2）

y?R(A)成立，其中

代表任意一种向量范数，R(A)?y?Cmy?Ax,?x?Cn。上述两

??G是某个n?m矩阵？ 种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式x?Gb，其中，

这个矩阵G是通常逆矩阵的推广。

1920年，E.H. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore的方程过于抽象，并未引起人们的重视。1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。

定义2 设矩阵A?Cm?n，若存在矩阵X?Cn?m满足下列Penrose方程 （1）AXA?A； （2）XAX?X； （3）(AX)H?AX；

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（4）(XA)H?XA

则称X为A的Moore-Penrose 逆，记为A?。

例1 由Moore-Penrose逆的定义不难验证

?1?0?2??11??A?（1） 若A??，则??； ??00??10????2?（2） 若a?C，则a?n?aHa2，其中a?aHa；

2?BO?r?rm?nB?C（3） 若A??，其中是可逆矩阵，则 ?C??OO??B?1O?n?mA????C；

?OO??（4） 若A是可逆矩阵，则A??A?1。

定理1 对于任意矩阵A?Cm?n，其Moore-Penrose逆存在并且唯一。 证明 存在性。设矩阵A?Cm?n有奇异值分解

??O?HA?P??Q， OO??其中P?Cm?m，??diag(?1,?,?r)，A的正奇异值为?1,?,?r，Q?Cn?n为酉矩阵，

rank(A)?r。容易验证

???1O?HX?Q??P

?OO?满足定义2中的四个Penrose方程，所以，A?总是存在的。

唯一性。设X,Y均满足定义2中的四个Penrose方程，则

X?X(AX)H?XXHAH?XXHAHYHAH?X(AX)H(AY)H

?XAXAY?XAY?XAYAY?(XA)H(YA)HY?AHXHAHYHY=AYY?(YA)Y?YAY?YHHH

所以A?是唯一的。

更一般的，为了不同的目的，人们定义了满足Penrose方程中任意若干个方 程的广义逆。

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定义3 设矩阵A?Cm?n，若矩阵X?Cn?m满足Penrose方程中的（i），（j）， （l）等方程，则称X为A的?i,j,?,l?-逆，记为A(i,j,?,l)。 ?，

由定义3与定义1可知，A??A(1,2,3,4)。因为对于任意?i,j,?,l???1,2,3,4?都 有A?为A的?i,j,?,l?-逆，所以利用定理1可知A(i,j,?,l)总是存在的。但是除了A?是唯一确定的之外，其余各种?i,j,?,l?-逆矩阵都不是唯一确定的，因此将A的

?i,j,?,l?-逆全体记为A?i,j,?,l?。如果按照满足Penrose方程个数进行分类，

1234?C4?C4?C4?15种。但应用较多的是以下5种： ?i,j,?,l?-逆矩阵共有C4A{1},A{1,2},A{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4}，

其中，A(1)?A??A{1}最为基本，A??A{1,2,3,4}最为重要。A(1,2)?Ar??A{1,2}称

?为自反广义逆，A(1,3)?Al??A{1,3}称为最小二乘广义逆，A(1,4)?Am?A{1,4}为极

小范数广义逆。

?A例2 设矩阵A??11?A21?1?A11O?易验证???A?1?。

?OO?A12??1，其中为可逆矩阵，且AA?AAA12，则容11222111?A22?例3 设矩阵A?Cm?n。

（1）若rank(A)?m，此时AAH?Cm?m为可逆矩阵，容易验证

X?AH(AAH)?1?A{1,2,3};

（2）若rank(A)?n，此时AHA?Cn?n为可逆矩阵，容易验证

X?(AHA)?1AH?A{1,2,4}。

除了以上?i,j,?,l?广义逆矩阵之外，还有群逆、Drazin逆等另外一些广义逆矩阵。1967年，Erdelyi给出如下群逆的概念。

定义4 设矩阵A?Cn?n，若矩阵X?Cn?n满足 （1）AXA?A； （2）XAX?X； （3）AX?XA； 则称X为A的群逆，记为A#。

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从定义4可以看出，群逆A#是一个特殊的A(1,2)，虽然A(1,2)总是存在的，但是这种群逆未必存在。

为了介绍Drazin逆的定义，下面先给出方阵指标的概念。 定义5 设矩阵A?Cn?n，称满足

rank(Ak?1)?rank(Ak)

的最小非负整数k为A的指标，记作Ind(A)?k。

若矩阵A是非奇异的，则Ind(A)?0，若矩阵A是奇异的，则Ind(A)?1。 1958年，Drazin给出如下Drazin逆的概念。

定义6 设矩阵A?Cn?n，其指标为k，若存在矩阵X?Cn?n满足 （1）AkXA?Ak； （2）XAX?X； （3）AX?XA；

则称X为A的Drazin逆，记作AD。

易见，若矩阵A的指标为1，则A的Drazin逆就是群逆。

§6.2 ?1?-逆的性质与计算

由于?1?-逆是最基本、最重要的一种广义逆，本节将给出?1?-逆的基本性质与计算方法。 6.2.1 ?1?-逆的存在性

定理1设矩阵A?Cm?n，其秩为r。若矩阵A的等价标准形为

?EPAQ??r?OO?， ?O?其中P,Q分别为m阶和n阶可逆矩阵，则矩阵A的所有?1?-逆的集合为

??E?A{1}??A(1)?Q?r??B21??B12?r?(m?r)(n?r)?r(n?r)?(m?r)?PB?C,B?C,B?C?。 122122B22????证明 设矩阵X为A的任意一个?1?-逆，则其满足

AXA?A。

于是，

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