自然科学的研究方法

测量，所以其界限是模糊的。地震的突然发生、桥梁的突然断裂折坠等则属于突然性事物和现象。 2．数学方法的分类

按照自然事物和现象的类型，根据理论计算和解决实际问题的需要，人们创立了许多种数学方法，概括起来主要有以下几种：常量数学方法：古今初等数学所运用的方法，便是常量数学方法，主要有算术法、代数法、几何法和三角函数法。常量数学方法被用于定量揭示和描述客观事物在发展过程中处于相对静止状态时的数量关系和空间形式(或结构)的规律性。变量数学方法：它是定量揭示和描述客观事物运动、变化、发展过程中的各量变化与量变之间的关系的一种数学方法。其中最基本的是解析几何法和微积分法。解析几何法由数学家迪卡尔创立，是用代数方法研究几何图形特征的一种方法。微积分(通常称为高等数学)方法是牛顿和莱布尼茨创立的。这种方法主要应用于求某种变化率(如物体运行速率、化学反应速率等)；求曲线(曲面)切线(切平面)；求函数极值；求解振动方程和场方程等问题。

必然性数学方法：这种方法应用于必然性自然事物和现象。描述必然性自然事物和现象的数学工具，一般是方程式或方程组。其中主要有：代数方程、函数方程、常微分方程、偏微分方程和差分方程等。利用方程可以从已知数据，在遵循推理规律和规则的条件下，推算出未知数据，如这种方法可以根据热力学方程计算出炼钢炉各部分的温度分布。因而可通过理论计算，确定和选取炼钢炉的最佳设计方案。

随机性数学方法：指定量研究、揭示和描述随机事物和随机现象领域的规律性的一种数学方法。它主要含概率论方法和数理统计方法。

突变的数学方法：指定量研究只揭示和描述突变事物和突变现象规律性的一种数学方法。它是20世纪70年代由法国数学家托姆创立的。托姆用严密的逻辑和数学推导，证明在不超过四个控制因素的条件下，存在着七种不连续过程的突变类型，它们分别是：折转型，尖角型，燕尾型，蝴蝶型，双曲脐点型，椭圆脐点型，抛物脐点型。这些突变数学方法和突变理论，对于解决地质学研究领域中的复杂生突变事件(如地震预测)和现象十分有用。有专家预言：突变的数学方法，可能成为解决地质学领域复杂问题的一种强有力的数学工具。

模糊性数学方法：指用定量方法去研究、揭示和描述模糊事物和模糊现象和规律性的一种数学方法。自然界存在着大量模糊事物、模糊现象和模糊信息，无法用精确数学方法处理。模糊数学方法的创立，才使人类找到了处理该类问题的有效方法，人们称这种方法的效果是“模糊中见光明”。“模糊数学”并非数学的模糊，这种数学本身仍是逻辑严密的精确数学，只是因用于处理模糊事物而得名。

公理化方法：指从初始科学概念和一些不证自明的数学公理出发遵循逻辑思维规律和推理规则，运用正确逻辑推理形式，对一些相关问题进行处理，从而建立起数学模型的一种特殊方法。公理化方法由古希腊数学家欧几里得首创，并构成了欧氏几何学理论体系，公理化方法的核心是研究如何把一种科学理论公理化，进而建成一个公理化理论体系。这种体系中首先建立公理，即把某学科中一些初始科学概念公理化，然后由公理推演出定理及其他，从而构成一个公理化理论体系。

(四)提炼数学模型的一般步骤

所谓提炼数学模型，就是运用科学抽象法，把复杂的研究对象转化为数学问题，经合理简化后，建立起揭示研究对象定量的规律性的数学关系式(或方程式)。这

既是数学方法中最关键的一步，也是最困难的一步。提炼数学模型，一般采用以下六个步骤完成：

第一步：根据研究对象的特点，确定研究对象属哪类自然事物或自然现象，从而确定使用何种数学方法与建立何种数学模型。即首先确定对象与应该使用的数学模型的类别归属问题，是属于“必然”类，还是“随机”类；是“突变”类，还是“模糊”类。

第二步：确定几个基本量和基本的科学概念，用以反映研究对象的状态。这需要根据已有的科学理论或假说及实验信息资料的分析确定。例如在力学系统的研究中，首先确定的摹本物理量是质主(m)、速度(v)、加速度(α)、时间(t)、位矢(r)等。必须注意确定的基本量不能过多，否则未知数过多，难以简化成可能数学模型，因此必须诜择出实质性、关键性物理量才行。

第三步：抓住主要矛盾进行科学抽象。现实研究对象是复杂的，多种因素混在一起，因此，必须变复杂的研究对象为简单和理想化的研究对象，做到这一点相当困难，关键是分清主次。如何分清主次只能具体问题具体分析，但也有两条基本原则：一是所建数学模型一定是可能的，至少可给出近似解；二是近似解的误差不能超过实际问题所允许的误差范围。

第四步：对简化后的基本量进行标定，给出它们的科学内涵。即标明哪些是常量，哪些是已知量，哪些是待求量，哪些是矢量，哪些是标量，这些量的物理含义是什么?

第五步：按数学模型求出结果。

第六步：验证数学模型。验证时可根据情况对模型进行修正，使其符合程度更高，当然这以求原模型与实际情况基本相符为原则。

(五)数学方法在科学中的作用

1．数学方法是现代科研中的主要研究方法之一

数学方法是各门自然科学都需要的一种定量研究方法，尤其在当今世界科学技术飞速发展的时代，计算机已得到广泛应用，即使一个极其复杂的偏微分方程的求解问题也同样可以通过离散化手段进行数字求解。如航磁法、地震法探矿的数据处理问题就异常复杂，其数学模型就是一个偏微分波动(场)方程。当然此类问题都需要在超大型专门计算机构进行的。正因为如此，许多过去无法进行定量研究的问题，现在一般都可以通过数学建模进行定量研究。当然，研究中的关键就是如何建模的问题了。同时，只有通过定量研究才能更深刻、更准确地揭示自然事物和自然现象内在的规律性。否则，一切科学理论的建立和理论研究的精确化就难以实现。

马克思曾指出：“一种科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正发展了”。这正如我国数千年的传统中药，因其药效及有效成分没能达到定量研究的程度，因而其发展迟缓。当今世界各主要国家都在对中国的中药进行定量分析研究，某些中药已被它国制成精品并拥有专利权向我国倾销，这充分体现了定量研究的重要意义。

2．数学方法为多门科研提供了简明精确的定量分析和理论计算方法 数学语言(方程式或计算公式)是最简明和最精确的形式化语言，只有这种语言才能给出定量分析的理论和计算方法，通过理论计算给出的信息，可以给人们提供某种预测、某种预言。这种预示性的信息，既可能带来某种发现、发明和创造，也可能导致极大的经济和社会效益，从而使人们格外地感受到它的分量。

3．数学方法为多门科学研究提供逻辑推理、辩证思维和抽象思维的方法