2015初中数学基础知识讲义—有理数

把容易题作对，难题就会变容易！ 初中数学基础知识讲义—有理数

一、正数和负数的定义

(1)正数：大于0的数叫做正数。根据需要有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数前面的负号“-”不能省略。

注：对于正数和负数的概念，不能简单地理解为带“+”的数就是正数，带“-”的数就是负数。 eg：-a不一定是负数，因为字母a可以表示任何数，当a是正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a则是一个正数，而不是负数；当a表示0时，-a就是在0前面加上一个负号，仍是0,0不分正负。 (2)具有相反意义的量

正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。 常见的表示相反意义的量：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、升高和下降。

(3)0的意义（重点理解）：数0既不是正数，也不是负数。0是正数和负数的分界线。0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。0的意义已经不仅是表示“没有”。

11、(2013山东德州)－1, 0， 0.2， ， 3 中正数一共有 个

7 2、（2013广西玉林市）既不是正数也不是负数的数是

3、（2013浙江丽水）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（ ） A.－3℃ B.－2℃ C.+3℃ D.+2℃ 4、（2014浙江宁波）杨梅开始采摘啦！每框杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4框杨梅的总质量是（ ）

A． 19.7千克 B． 19.9千克 C． 20.1千克 D． 20.3千克 二、有理数的概念 (1)正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 注：（1）正整数、0、负整数统称为整数。 （2）正分数和负分数统称为分数。 （3）对于小数，只有能化成分数的小数才是有理数。

（4）我们把有限小数和无限循环小数 都看做分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。 （5）无限循环小数不能化成分数，因此它不是分数，也不是整数，所以就不是有理数。

把容易题作对，难题就会变容易！ (2)有理数的分类（重点） 按数的种类分 按有理数的性质分

??正整数??正整数??正有理数??整数?0??正分数????负整数 有理数0有理数? ????负整数??正分数负有理数??分数???负分数????负分数?

注：（1）有理数的分类必须按同一标准，不漏、不重。（2）0和正整数统称为非负整数。 （3）0和负整数统称为非正整数。（4）0和正有理数统称为非负数。 （5）0和负有理数统称为非正数。

131、下列个数中：?3，?，?0.7，，0，1中负分数有 个；负整数有 个；

25自然数有 个

2、（宁波）下列各数是正整数的是（ ） A．－1 B．2 C．0．5 D．

1 311113、（上海）如下列分数中，能化为有限小数的是（ ） (A) (B) ； (C) ； (D)

3579

4、（东阳县）

3是（ ） A．负整数 7 B．有理数 C．整数

D．负数

三、数轴的概念

(1)规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 (2)数轴的画法（重点）

画数轴时，关键要体现数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 (3)数轴上的点与有理数的关系（重点、难点）

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个长度单位；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个长度单位。所有的有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可以用原点右边（或上边）的点表示，负有理数可以用原点左边（或下边）的点表示，0用原点表示。 (4)利用数轴比较大小（重点、难点）

1、数轴上的数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大

2、有理数大小比较法则：（1）正数都大于0 （2）负数都小于0 （3）正数大于负数

(5)两个负数比较大小：距原点距离远的数比距离远点近的数小，即在原点的左侧，离原点越远，数越小。 1、如下图所示，数轴中正确的是（ ）

－1 0 0 1

A B C

2、（重庆潼南）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a、b， a、b的大小关系为

－1

1 －1 0 1 D

ABa0b3、（2013江苏泰州市）如图，数轴上的点P表示的数是－1，将点P向右移动3个单位长度得到点P’，则点P’表示的数是：

把容易题作对，难题就会变容易！

四、相反数

(1)相反数的概念：

在数轴上与原点的距离相等，且只有_______的两个数，我们称它们互为______。规定：零的相反数是_______。 概念的理解：

（1）互为相反数的两个数分别在原点的______，且到原点的_____相等， （2）一般地，数a的相反数是 ______，

（3）在一个数的前面添上“—”号，就表示这个数的相反数。

(2)多重符号的化简：化简双重符号的规律可简述为：同号得“ ”，异号得“ ”。

例如：化简：—（+10）= （2） - 0 = （3）—（—20）= （4）+（+3）= （5）+（—0.15）=

1、（2014云南昆明）

111的相反数是（ ） A. B. ? C. 2 D. ?2

22211 C.3 D. ? 333、（本溪中考)如果a与1互为相反数，则a+2等于（ ） A．2 B．?2 C．1

2、（2013福州）3的相反数是（ ） A．－3 B.

D．?1

五、绝对值：

a的绝对值记作：a (1)数轴上，表示____________________________叫做这个数的绝对值。 －5的绝对值记作：|－5|；

(2)绝对值法则：

① 正数的绝对值是___________； ② 0的绝对值是____； ③ 负数的绝对值是_________________。 想一想：12? －0.6? 23?4－92? （3）含有字母的绝对值的化简求值（重点、难点）

化简绝对值要分两步走，即“先判后去”——先判断这个数是正数、零还是负数，再由绝对值的意义确定去掉绝对值的符号的结果是等于它本身还是等于它本身的相反数或零。

1、（2014云南省）|﹣|=（ ） A．﹣

B． C．﹣7 D．7

D．

2、（2014舟山）﹣3的绝对值是（ ）A．﹣3 B．3 C．

1 33、（2014四川泸州）已知实数x、y满足x?1?y?3?0，则x+y的值为（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣4D．4

4、已知|a|?3，则a的值为（ ） A.3 B. ?3 C?3. D. 以上答案均不正确

六、有理数的大小比较

★在数轴上，越在右方的数________ (1) 负数小于____，0小于______，负数小于_____数；(2) 两个正数，应用已有的方法比较（绝对值大数大）； (3) 两个负数，绝对值大的___________.

1、（2014广东）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（ ）A．1 B．0 C．2

2、（2014武汉）在实数﹣2，0，2，3中，最小的实数是（ ）A．-2 B．0 C．2D．3

3、（2014菏泽）比﹣1大的数是（ ）A．﹣3 B．﹣4、（ 2014珠海）比较大小：﹣2 ﹣3．

C．0

D．﹣1

D．-3

把容易题作对，难题就会变容易！

七、有理数的运算

（1）有理数的加法

1、把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法。 2、两个有理数相加，有以下几种情况：

①两数都是正数；②两数都是负数；③两数异号，即一个是正数，一个是负数； ④一个是正数，一个是0；⑤一个是负数，一个是0；⑥两个数都是0. （2）有理数的加法法则 1、有理数的加法法则共有4条：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）互为相反的两个数相加得0； （4）一个数与0相加，仍得这个数。 ★一个数同0相加，仍得这个数 总结：有理数加法的运算步骤 ①先判断属于法则中的哪种类型； ②再依法则判断和的符号； ③判断利用绝对值的和还是绝对值的差进行计算． 上述步骤可以概括为：“一定二求三加减”

1、（2014武汉）计算：﹣2+（﹣3）=

2、（2014遵义）﹣3+（﹣5）的结果是（ ） A．-2 B．-8 C．8D．2

3、（2013安徽）下面的数中，与－3的和为0的是 （ ） A.3 B.－3 C.（3）有理数的减法

1、有理数的减法，就是已知两个有理数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 2、有理数的减法与加法互为逆运算。 3、任意两个数都可以进行减法运算。

4、几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分构成：（1）性质符号；（2）数字即数的绝对值。 5、有理数的减法法则

内容：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a?b11 D.? 33?a?(?b)。这里的a、b表示任意有理数。

1、（2013黔东南）计算－1－2等于（ ） A、1 B、3 C、－1 D、－3

2、（2013山西）计算：﹣2﹣5的结果是（ ） A．﹣7 B． ﹣3 C．3 D．7 3、（2013珠海）计算

11?＝ . 324、（2014台湾）算式743×369﹣741×370之值为何？( ) A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3