【金版教程】高考数学(文)二轮复习考前冲刺攻略练习：立体几何含答案

解 (1)证明：连接BD，设BD的中点为O′，连接OO′，O′E， 因为∠BCD＝90°，所以OO′⊥平面ABCD，又PA⊥平面ABCD， 所以OO′∥PA，又PA?平面PAD，所以OO′∥平面PAD. 又E为AB的中点，

所以O′E∥AD，即O′E∥平面PAD.

又OO′∩O′E＝O′，所以平面OO′E∥平面PAD. 又OE?平面OO′E，所以OE∥平面PAD. 1

(2)因为E为AB的中点，所以AE＝2AB＝2.

因为点P，A，C在球面上，O为球心，OO′⊥平面ABCD，PA⊥平面ABCD，

1

所以OO′＝2PA＝2.又AD＝3，

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所以V三棱锥O－ADE＝3×OO′×S△ADE＝3×OO′×2×AD×AE＝31

×2×2×3×2＝2.

11. [2015·湖南高考]如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．

(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC

的体积．

解 (1)证明：如图，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.

又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC. 因此AE⊥平面B1BCC1.

而AE?平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD.因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.

因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1

所成的角．

3由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝2AB＝3. 在Rt△AA1D中，AA1＝A1D2－AD2＝3－1＝2， 12所以FC＝2AA1＝2.

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故三棱锥F－AEC的体积V＝3S△AEC×FC＝3×2×2＝12. 12. [2015·天津高考]如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点．

(1)求证：EF∥平面A1B1BA； (2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；

(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．

解 (1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又因为EF?平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.,(2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，又因为AE?平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.,(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以

1

NE∥B1B，NE＝2B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．

在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.

因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.

在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝B1M2＋A1M2＝4.

A1N1

在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝AB＝2，因此∠A1B1N＝30°.

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所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.