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题的关键．

19．（5分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

【考点】K7：三角形内角和定理．

【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°． 【解答】证明：过点A作EF∥BC， ∵EF∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°， 即∠A+∠B+∠C=180°．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．

20．（8分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表： 时间（小时）

人数

6 5

7 8

8 12

9 15

10 10

（1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数； （2）根据上述表格补全下面的条形统计图．

（3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少？

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【考点】X4：概率公式；VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数． 【分析】（1）先根据表格提示的数据得出50名学生读书的时间，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，9出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，从而求出中位数是8.5； （2）根据题意直接补全图形即可．

（3）从表格中得知在50名学生中，读书时间不少于9小时的有25人再除以50即可得出结论． 【解答】解：（1）观察表格，可知这组样本数据的平均数为： （6×5+7×8+8×12+9×15+10×10）÷50=8.34， 故这组样本数据的平均数为2；

∵这组样本数据中，9出现了15次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是9；

∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9， ∴这组数据的中位数为（8+9）=8.5；

（2）补全图形如图所示，

（3）∵读书时间是9小时的有15人，读书时间是10小时的有10， ∴读书时间不少于9小时的有15+10=25人，

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∴被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是=

【点评】本题考查了加权平均数、众数以及中位数，用样本估计总体的知识，解题的关键是牢记概念及公式．

21．（8分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=别与x轴交于B，C两点．

（1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式

x+b＞

的解集；

交于点A（1，m），这两条直线分

（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式

x+b＞

，可得y与x之间的函数关系式；

的解集为x＞1；

，或BP=

BC=

（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，即可得到OP=3﹣=

，或OP=4﹣=

，进而得出点P的坐标．

【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3， ∴A（1，3），

把A（1，3）代入双曲线y=

，可得m=1×3=3，

；

∴y与x之间的函数关系式为：y=（2）∵A（1，3）， ∴当x＞0时，不等式

x+b＞

的解集为：x＞1；

（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，

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∴点B的坐标为（4，0），

把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b， ∴b=， ∴y2=

x+

，

令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0）， ∴BC=7，

∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分， ∴CP=

BC=

，或BP=

BC=

， =，

∴OP=3﹣=，或OP=4﹣

∴P（﹣，0）或（，0）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根． （1）求证：PA?BD=PB?AE；

（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．

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