共面向量定理-苏教版高二数学选修2-1讲义

3．1.2 共面向量定理

[对应学生用书P50]

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问题．

问题1：AB、AD、A1C1可以移到一个平面内吗？

提示：可以，因为AC＝A1C1，三个向量可移到平面ABCD内． 问题2：AA1，AC，AC1三个向量的位置关系？ 提示：三个向量都在平面ACC1A1内．

问题3：BB1、CC1、DD1三个向量是什么关系？ 提示：相等．

1．共面向量

一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.

1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面． 2．向量共面不具有传递性．

3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．

[对应学生用书P51]

向量共面的判定

[例1] 给出以下命题：

①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量；

③若存在有序实数组(x，y)使得OP＝xOA＋yOB，则O、P、A、B四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面． 其中正确命题的序号是________．

[思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断． [精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的； ②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向； ③正确：因为OP、OA、OB共面， ∴O、P、A、B四点共面； ④错：没有强调零向量；

⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量． [答案] ③

[一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．

1．下列说法正确的是________(填序号)．

①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；

②设平行六面体的三条棱是AB、AA1、AD，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB＋AA1＋AD；

1

③若OP＝(PA＋PB)成立，则P点一定是线段AB的中点；

2

④在空间中，若向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共面．

⑤若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线确定的平面是同一个平面．

解析：①②③⑤不正确，④正确． 答案：④

2．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，试问向量p、q、r是否共面？

解：设r＝xp＋yq，

则－7a＋18b＋22c＝x(a＋b－c)＋y(2a－3b－5c) ＝(x＋2y)a＋(x－3y)b＋(－x－5y)c， x＋2y＝－7，??

∴?x－3y＝18，??－x－5y＝22.∴r＝3p－5q. ∴p、q、r共面.

[例2] 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和12

D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.证明：AC1与AE、AF共面．

33

[思路点拨] 由共面向量定理，只要用AE、AF线性表示出AC1即可． [精解详析] ∵AC1＝AB＋AD＋AA1 12

＝AB＋AD＋AA1＋AA1

3312

＝(AB＋AA1)＋(AD＋AA1)

33＝AB＋BE＋AD＋DF ＝AE＋AF，

∴AC1与AE、AF共面．

[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x，y使向量AC1＝xAE＋yAF成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AE、AF表示AC1.

3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量A1B，B1C，EF是共面向量．

证明：法一：EF＝EB＋BA1＋A1F 11

＝B1B－A1B＋A1D1 221

＝(B1B＋BC－A1B 2

向量共面的证明

?x＝3，?解得?

?y＝－5，?

1

＝B1C－A1B. 2

由向量共面的充要条件知，A1B，B1C，EF是共面向量．

1

法二：连接A1D，BD，取A1D中点G，连结FG，BG，则有FG綊DD1，

21

BE綊DD1，

2∴FG綊BE.

∴四边形BEFG为平行四边形． ∴EF∥BG.

BG?平面A1BD，EF∴EF∥平面A1BD.

同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD， ∴A1B，B1C，EF都与平面A1BD平行． ∴A1B，B1C，EF是共面向量．

4．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM＝kAC1，

平面A1BD

BN＝kBC (0≤k≤1)．求证：MN与向量AB，AA1共面．

证明： 如图，在封闭四边形MABN中，MN＝MA＋AB＋BN.① 在封闭四边形MC1CN中，MN＝MC1＋C1C＋CN ② ∵AM＝kAC1， ∴AM＝k(AM＋MC1)

∴(1－k)AM＝kMC1，即(1－k)MA＋kMC1＝0， 同理(1－k)BN＋kCN＝0.

①×(1－k)＋②×k得MN＝(1－k)AB＋kC1C， ∵C1C＝－AA1，∴MN＝(1－k)AB－kAA1， 故向量MN与向量AB，AA1共面.

[例3] 如图所示，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．

共面向量定理的应用