江苏省苏锡常镇2018届高三5月调研（二模）数学（理）试题（含附加题）

18. 解（1）由椭圆的离心率为2，焦点到对应准线的距离为1. 2?c2?，???a?a?2，2得 ?2解得? ………………………………………………2 分

c?1，a???c?1，???cx2所以，椭圆的标准方程为?y2?1. …………………………………4分

2（2）由（1）知C(0,1)，设D(x0,y0)， 因为CM?2MD，得2y0??1，所以y0??代入椭圆方程得x0?所以l的方程为：y?1， ……………………………6 分 2666161,?)或D(?,?)， 或?，所以D(22222266x?1或y??x?1. …………………………9 分 22（3）设D坐标为(x3，y3）,由C(0,1)，M(x1，0)可得直线CM的方程y??1x?1， x11?y??x?1，?x1x12?24x1?联立椭圆方程得：?解得x3?2,y3?2. …………12 分

2x?2x?211?x?y2?1，??2由B(2,0)，得直线BD的方程：y?x12?2?2x?4x1?2221(x?2)， ①

直线AC方程为y?联立①②得x2?2x?1， ② 22， …………………………………………………………15 分 x1从而x1x2=2为定值. …………………………………………………………16 分 解法2：设D坐标为(x3，y3）， 由C,M,D三点共线得

y3x1?，所以x1?3， ① ………………10 分 ?x1x3?x11?y3y3x3?2=y2x2?2，将y2?由B,D,N三点共线得2x2?1 代入可得 2x2?2x3?2y3?22y3?x3?2， ② …………………………………………………12 分

x32x3?2y3?22x32?2x3y3?2x3?= ①和②相乘得，x1x2? 1?y32y3?x3?2?2y32?x3y3?x3?2高三数学参考答案 第3页（共8页）

2x32?2x3y3?2x3??2. ……………………………………………16 分

x32?2(1?)?x3y3?x3?2219. 解：（1）①由f?(x)?3x2?2ax?b及a2?b?0，

得f?(x)?3x2?2ax?a2， ……………………………………………………1 分 令f?(x)?0，解得x?a或x??a. 3由a?0知，x?(??,?a)，f?(x)?0，f(x)单调递增，

aax?(?a,)，f?(x)?0，f(x)单调递减，x?(,??)，f?(x)?0，f(x)单调递增，

33……………………………………………………3 分

a5a3因此，f(x)的极大值为f(?a)?1?a，f(x)的极小值为f()?1?.

3273……………………………………………………4 分

② 当a?0时，b?0，此时f(x)?x3?1不存在三个相异零点；

3当a?0时，与①同理可得f(x)的极小值为f(?a)?1?a，f(x)的极大值为

a5a3f()?1?. 327要使f(x)有三个不同零点，则必须有(1?a3)(1?即a3??1或a3?53a)?0， 2727. …………………………………………………………6 分 5不妨设f(x)的三个零点为x1,x2,x3，且x1?x2?x3， 则f(x1)?f(x2)?f(x3)?0，

32f(x1)?x1?ax1?a2x1?1?0， ① 32f(x2)?x2?ax2?a2x2?1?0， ② 32f(x3)?x3?ax3?a2x3?1?0， ③

2②-①得(x2?x1)(x2?x1x2?x12)?a(x2?x1)(x2?x1)?a2(x2?x1)?0， 22因为x2?x1?0，所以x2?x1x2?x1?a(x2?x1)?a2?0， ④

…………………………………………………………8 分

22同理x3?x3x2?x2?a(x3?x2)?a2?0， ⑤

⑤-④得x2(x3?x1)?(x3?x1)(x3?x1)?a(x3?x1)?0，

因为x3?x1?0，所以x2?x3?x1?a?0， ……………………………………9 分 又x1?x3?2x2，所以x2??a. ………………………………………10 分 3高三数学参考答案 第4页（共8页）

2327a所以f(?)?0，即a2???a2，即a3????1，

9a113因此，存在这样实数a??33满足条件. ………………………………12 分 11（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则k1?3m2?2am?b，k2?3n2?2an?b，

f(m)?f(n)(m3?n3)?a(m2?n2)?b(m?n)??m2?mn?n2?a(m?n)?b， 又k1?m?nm?n…………………………………………13 分

由此可得3m2?2am?b?m2?mn?n2?a(m?n)?b，化简得n??a?2m，

因此，k2?3(?a?2m)2?2a(?a?2m)?b?12m2?8am?a2?b， ……………15分 所以，12m2?8am?b?a2?4(3m2?2am?b)，

所以a2?3b. …………………………………………………………………16分 20. 解：（1）设数列{Sn}的公差为d?，由6Sn?9bn?an?2， ①

6Sn?1?9bn?1?an?1?2(n≥2)， ②

①-②得6(Sn?Sn?1)?9(bn?bn?1)?(an?an?1)， ③ …………………………2 分 即6d??9(bn?bn?1)?d，所以bn?bn?1?6d??d为常数， 9所以{bn}为等差数列． …………………………………………………………3 分 （2）由③得6bn?9bn?9bn?1?d，即3bn?9bn?1?d， …………………………4 分

d11dd13bn?1??3(bn?1?)??1?1322332???3?所以是与n无关的常数，

1111bn?1?bn?1?bn?1?bn?1?2222bn?d1?1?0或bn?1?为常数． ………………………………6 分 32d①当?1?0时，d?3，符合题意； …………………………………………7 分

31②当bn?1?为常数时，

2在6Sn?9bn?an?2中令n?1，则6a1?9b1?a1?2，又a1?1，解得b1?1，…8分

所以

113?b1??， 222dd?1?133?3??1，解得d??6． 此时3?13bn?1?22所以bn?1?综上，d?3或d??6． ………………………………………………………10分 （3）当d?3时，an?3n?2， ………………………………………………11分

高三数学参考答案 第5页（共8页）

由（2）得数列{bn?}是以

123131为首项，公比为3的等比数列，所以bn???3n?1=?3n，2222即bn=(3n?1)． …………………………………………………12 分 当n≥2时，cn?bn?bn?1?(3n?1)?(3n?1?1)?3n?1， 当n?1时，也满足上式，

所以cn?3n?1(n≥1)． …………………………………………………13分 设an?ci?cj(1≤i?j)，则3n?2?3i?1?3j?1，即3n?3i?1(3j?i?1)?2， 如果i≥2，因为3n为3的倍数，3i?1(3j?i?1)为3的倍数，

所以2也为3的倍数，矛盾． …………………………………………………15 分 所以i?1，则3n?3?3j?1，即n?1?3j?2(j?2,3,4,)．

所以数列{an}中存在无穷多项可表示为数列{cn}中的两项之和． ……………16 分

121212

高三数学参考答案 第6页（共8页）