概率论与数理统计第二章答案

∵ Y= g (X)=－2lnX 是单调减函数

?Y2又 X?h(Y)?e 反函数存在。 且 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0 β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞

yy?1?21?2?e?f[h(y)]?|h'(y)|?1??e∴ Y的分布密度为：ψ(y)??22?0?35、设X～N（0，1）

（1）求Y=eX的概率密度

0?y???y为其他

1e,???x??? 2πX

Y= g (X)=e 是单调增函数 又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0

β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：

(lny)2???f[h(y)]?|h'(y)|?1e2?10?y??? ψ(y)??y2π?0y为其他?（2）求Y=2X2+1的概率密度。

在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY（y）， 则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y)

?y?1y?1?? =P???X???22??∵ X的概率密度是f(x)??x22当y<1时：FY ( y)=0

?当y≥1时：Fy(y)?P????y?1?X?2y?1???2???y?12?y?12?1e2πx22dx

故Y的分布密度ψ( y)是：

当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

?当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =?????y?12y?1212?ex2?2??dx? ???1 =e4

2π(y?1)（3）求Y=| X |的概率密度。

∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0

y?1 13

当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=∴ Y的概率密度为：

当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

?y?y1e2π?x22dx

?y2x2?y1???2当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =?e2dx??e2

??y2π?π??36、（1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。 ∵ Y=g (X )= X 3 是X单调增函数，

?又 X=h (Y ) =Y，反函数存在， 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：

131? ψ( y)= f [h ( h )]·| h' ( y)| = f(y)?y3,???y???,但y?0

3?(0)?0

（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。

?e?xx?0y=x2 法一：∵ X的分布密度为：f(x)??

x?0?0 Y=x2是非单调函数

当 x<0时 y=x2 ? 反函数是x??y

当 x<0时 y=x? x?2

132y 1O y ∴ Y～ fY (y) = f(?y)(?y)??f(y)(y)? －y y ?0?1e?? =?2y??0x y?2ye?y,y?0y?0 法二：Y~FY(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?y)?P(X??y)

?y?xedx?0?1?e?? ?0??0?1e?y,y?0.?∴ Y～ fY (y) =?2y

?,y?0.?037、设X的概率密度为

?2x0?x?π? f(x)??π2?x为其他?0求Y=sin X的概率密度。 ∵ FY ( y)=P (Y≤y)

?y,,y?0y?0

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= P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0

当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =

?arcsiny02xdx?π2?2xdx

π?arcsinyπ2π当1

∴ Y的概率密度ψ( y )为：

y≤0时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (0 )' = 0

?0

?arcsiny02xdx?2π2??2x?dx?

π?arcsinyπ2?π2π1?y

1≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (1)? = 0

38、设电流I是一个随机变量，它均匀分布在9安欧的电阻，在其上消耗W?2I.求W的概率密度。

解：

211安之间。若此电流通过2

I在?9,11?上服从均匀分布

?I的概率密度为：

?1???,??????q?x?11f?x???2

??0??,???????其它

W?2I2的取值为162?W?242

分布函数 Fw?w??P?W?w??P2I?w?P?I?22????w?? 2?w2?? ?P?Q?i??? ?w?????q2??f?x?dx

?w2q1dx?2?1?w?q ????2?2?39、某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃)的概

5率密度。[已知θ?(T?32)]

9法一：∵ T的概率密度为f(t)??1??,???????162?w?242?' ?fw?w??Fw?w???42w?0??,??????其它?12?2e?(t?98.6)22?2,???t???

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5(T?32) 是单调增函数。 99 T?h(θ)?θ?32 反函数存在。

5 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)为

又 θ?g(T)?ψ(θ)?f[h(θ)]?|h'(θ)|? ?12π2?9(θ?32?98.6)2?54e?9 59e,???θ??? 10π法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 ) 由于T～N（98.6, 2）

2?5??333?5?2?5160160?5?故 θ?T?~N??98.6?,???2??N?,???2?

999999???9?????????故θ的概率密度为：

?333?????9???2281(θ?37)2100?(?)?1e52?29?5?2????2?9??910?e?81(??37)2100,???????

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