2020年人教版A版数学选修2-2全册完整讲义学案(教师用书)

(2)点P处的切线方程． 1

【解析】 (1)∵y＝x3，

3∴y′＝1＝3＝y′|13

Δy＝Δx

11（x＋Δx）3－x333

Δx

3x2Δx＋3x（Δx）2＋（Δx）3

Δx

[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，

x＝2

＝22＝4.∴点P处的切线的斜率等于4.

8

(2)在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)，

3即12x－3y－16＝0. ●规律方法

求曲线上某点处的切线方程的步骤

(1)求出该点的坐标．

(2)求出函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率． (3)利用点斜式写出切线方程．

1．例1中的P点换为坐标原点(0，0)，其他不变，如何解答？ 1

解析 由例1知y＝x3的导函数为y′＝x2.

3(1)点P处的切线斜率k＝0.

(2)在点P处的切线方程是y－0＝0×(x－0) 即y＝0.

(注意：原点处的切线即x轴，结合图象理解切线的定义) 题型二 求切点坐标

过曲线y＝x2上哪一点的切线满足下列条件？ (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；

(3)倾斜角为135°. 【解析】 f′(x)＝

f（x＋Δx）－f（x）

Δx

＝

（x＋Δx）2－x2

＝2x，

Δx

设P(x0，y0)是满足条件的点． (1)∵切线与直线y＝4x－5平行，

∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2，4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， 139∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，

32439

－，?是满足条件的点． 即P??24?

(3)∵切线的倾斜角为135°，∴其斜率为－1， 11即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，

2411

－，?是满足条件的点． 即P??24?●规律方法

求切点坐标的一般步骤

(1)先设切点坐标(x0，y0)． (2)求导函数f′(x)． (3)求切线的斜率f′(x0)．

(4)由已知条件求出切线的斜率k.由此得到方程f′(x0)＝k，解此方程求出x0.

(5)由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，故将x0代入曲线方程可得y0，即可写出切点坐标．

2．(1)曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．

1

(2)已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．

2解析 (1)根据题意可设切点为P(x0，y0)，

因为Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x) ＝2xΔx＋(Δx)2－3Δx， Δy

＝2x＋Δx－3， Δx所以f′(x)＝

Δy＝Δx

(2x＋Δx－3)＝2x－3.

3

由f′(x0)＝0，即2x0－3＝0，得x0＝，

29

代入曲线方程得y0＝－，

439，－?. 所以P?4??2

1

(2)由导数的几何意义得f′(1)＝，

215

由切线方程得f(1)＝×1＋2＝，

22所以f(1)＋f′(1)＝3. 39

，－? (2)3 答案 (1)?4??2

题型三 导数几何意义的综合应用

已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l1，l2的方程；

(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．

【解析】 (1)f′(1)＝

Δy

＝Δx

f（1＋Δx）－f（1）

Δx

＝

[（1＋Δx）2＋（1＋Δx）－2]－（1＋1－2）

Δx(Δx＋3)＝3，

＝

所以直线l1的方程为y＝3x－3.

设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点B(b，b2＋b－2)， 则可求得切线l2的斜率为2b＋1.

12

因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.

33122

所以直线l2的方程为y＝－x－.

39

??x＝6，?y＝3x－3，

(2)解方程组? 122得?5??y＝－3x－9，?y＝－2.

15

，－?. 所以直线l1和l2的交点坐标为?2??6

22

－，0?. l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1，0)、??3?5125125－?＝. 所以所求三角形的面积S＝××?23?2?12●规律方法

与导数几何意义相关题目的解题策略

(1)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．

(2)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．

3．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值． 解析 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)

2

＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax0－9x0－1) 23＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)＋(Δx)，

1

Δy

2

∴＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx). Δx

当Δx无限趋近于零时， Δy

2＋2ax－9， 无限趋近于3x00

Δx