2020骞翠汉鏁欑増A鐗堟暟瀛﹂�変慨2-2鍏ㄥ唽瀹屾暣璁蹭箟瀛︽��(鏁欏笀鐢ㄤ功) - 鐧惧害鏂囧簱

②自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化规律． (4)平均变化率的物理意义

平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，在时间段[t1，t2]上的平均速度，即v＝s（t2）－s（t1）

.

t2－t1

知识点二 函数在某点处的导数

【问题1】 (1)物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ (2)什么叫做瞬时速度？ (3)它与平均速度有什么关系？

答案 (1)物体的平均速度不能精确地反映物体的运动状态，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，

65

h（）－h（0）4965

易知h()＝h(0)，v＝＝0，而运动员依然是运动状态．

4965

－046

(2)设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f（t0＋Δt）－f（t0）

趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度．

Δt

(3)平均速度只能粗略地描述物体的运动状态，并不能反映物体在某一时刻的瞬时速度．当时间间隔|Δt|趋近于0时，平均速度v就无限趋近于t0时的瞬时速度．

【问题2】 平均变化率与瞬时变化率有什么关系？

答案 (1)区别：平均变化率不是瞬时变化率．平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢．

Δy

(2)联系：当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它

Δx是一个固定值．

【问题3】 导数与瞬时变化率有什么关系？ 答案 导数与瞬时变化率的关系

导数是函数在x0及其附近函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比在Δx趋近于0时所趋近的数，它是一个局部性的概念，若

Δy

存在，则函数y＝f(x)在x0处有导数，否则不存在导数．可以说导数就是函数在某Δx

点处的导数，例如，位移s关于时间t的导数就是运动物体在某时刻的瞬时速度．

题型一 求函数的平均变化率

求函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． 【解析】 函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx的平均变化率为 f（x0＋Δx）－f（x0）（x0＋Δx）2－x20

＝

ΔxΔx＝

2＋2xΔx＋（Δx）2－x2

x000

Δx

2x0·Δx＋（Δx）2＝＝2x0＋Δx.

Δx●规律方法

求函数y＝f(x)平均变化率的步骤

(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. Δyf（x2）－f（x1）

(3)得平均变化率＝.

Δxx2－x1[特别提醒]

(1)求函数平均变化率时注意Δx，Δy，两者都可正、可负，但Δx的值不能为零，Δy的值可以为零． f（x0＋Δx）－f（x0）

(2)求点x0附近的平均变化率，可用的形式．

Δx

1

1．若本例中，Δx＝，x0＝1，2，3，比较函数f(x)＝x2在哪一点附近的平均变化率最大？

314

解析 x0＝1到x＝1＋＝的平均变化率

33

4??4?－12f?－f（1）?3??3?7

1

3

＝13

2

k1＝

＝， 3

7

x0＝2到x＝的平均变化率

3

7??7?－22f?－f（2）?3??3?13

1

3

＝13

＝3

2

k2＝

，

10

x0＝3到x＝的平均变化率

3

10??10?－32f?－f（3）?3??3?19

1

3

＝

13

＝3

2

k3＝

，

由于k1＜k2＜k3，

∴函数f(x)＝x2在x0＝3附近的平均变化率最大． 题型二 物体运动的瞬时速度

1

物体自由落体的运动方程是s＝gt2(g＝9.8 m/s2)，求物体在t＝3 s这一时刻的速度．

2112－g×32g（3＋Δt）Δs22

【解析】 平均速度＝

ΔtΔt1

＝g(6＋Δt)． 2

Δs1

当Δt趋于0时，＝g(6＋Δt)趋于3g，所以v＝3g＝29.4(m/s)，即物体在t＝3 s时的速度为29.4 m/s.

Δt2●规律方法

求运动物体瞬时速度的步骤

(1)求时间改变量Δt和位置改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． Δs

(2)求平均速度v＝.

Δt

Δs

(3)求瞬时速度：当Δt无限趋近于0，无限趋近于的常数v即为瞬时速度．

ΔtΔy

提示 求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法

Δx(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个变量来参与运算．

Δy

(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．

Δx

2．一辆汽车按规律s＝2t2＋3做直线运动，求这辆车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)． 解析 设这辆车在t＝2附近的时间变化量为Δt，则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δ

t)2，

Δs

＝8＋2Δt，ΔtΔs

＝ (8＋2Δt)＝8. Δt

所以，这辆车在t＝2时的瞬时速度为8 m/s. 题型三 求函数在某点处的导数

1

(6分)求函数y＝x－在x＝1处的导数．

x

Δx11

【规范解答】 因为Δy＝(1＋Δx)－－(1－)＝Δx＋，(2分)

11＋Δx1＋ΔxΔx＋

1＋ΔxΔy1

所以＝＝1＋.(4分)

ΔxΔx1＋Δx当Δx→0时，f′(1)＝

Δy

＝Δx

1(1＋)＝2，

1＋Δx

Δx

1

即函数y＝x－在x＝1处的导数为2.(6分)

x●规律方法

求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤

(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δyf（x0＋Δx）－f（x0）

(2)求平均变化率＝；

ΔxΔx

Δy

. Δx

(3)取极限，得导数f′(x0)＝

3．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数． 解析 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数

f（2＋Δx）－f（2）

，

Δx

f′(2)＝

而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx， 于是f′(2)＝

－（Δx）2－Δx

＝

Δx

(－Δx－1)＝－1.