随机过程习题答案A - 图文

称：

dxdydz??

a(x,y,z)b(x,y,z)c(x,y,z)或：

dx?a(x,y,z),dtdy?b(x,y,z),dtdz?c(x,y,z) dt为一阶拟线性方程的特征方程。由此方程确定的曲线(x(t),y(t),z(t))为特征曲线。一阶拟线性方程的特征方程的解u(x,y)为积分曲面。

有以下定理：

定理：若特征曲线?上一点P0(x0,y0,z0)位于积分曲面S:u?u(x,y)上，则?整个位于S上。

初值问题：

给定初始曲线：?:(x,y,z)?(f(s),g(s),h(s))，s为参数。则一阶拟线性方程的初值问题的提法是：求方程的解z?u(x,y)，使满足h(s)?u(f(s),g(s))。我们有以下定理。

定理：设曲线?:(x,y,z)?(f(s),g(s),h(s))光滑，且f?2?g?2?0，在点

P0?(x0,y0,z0)?(f(s0),g(s0),h(s0))处行列式

f?(s0)g?(s0)J??0

a(x0,y0,z0)b(x0,y0,z0)又设a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)在?附近光滑，则初始问题：

?a(x,y,u)ux?b(x,y,u)uy?c(x,y,u) ?u(f(s),g(s))?h(s)?在参数s?s0的一邻域内存在唯一解。

s例：已知初始曲线?:x?s,y?s,z?,0?s?1，求初值问题：

2?uux?uy?1?u?s/2 ??解：由于：

J?f?(s0)g?(s0)11??1?s/2?0

a(x0,y0,z0)b(x0,y0,z0)s/21解常微分方程的初值问题：

dydz?dx?1,?1??z, dtdt?dt??(x,y,z)t?0?(s,,s,s/2)得：

z?t?s/2,y?t?s,z?t2/2?st/2?s

由后两式解出s,t，并代入第一式，解得：

4y?2x?y2z?u(x,y)?

2(2?y)

P233/9. 解初值问题：

??(u?1)Gu?Gt??(u?1)G ?(u,t,z)?(s,0,1)??0?由于：

f?(s0)g?(s0)10J???1?0

a(x0,y0,z0)b(x0,y0,z0)?(s?1)1解常微分方程的初值问题：

dtdz?du?1,??(u?1)z???(u?1), d?d?d????(x,y,z)t?0?(s,,0,1)解得：

??t????? ?u?e(s?1)?1??(s?1)???(1?s)lnz?e?????在上面式子中消去参数s,?，得初值问题的解：

G(u,t)?exp{?(u?1)(1?e??t)} ?

P311/1. 解：（1）给定 t2?t1,k2?k1时，有

（2）任取t1,t2?0,我们有：

所以Poission过程不是平稳过程。

P311/2. 解：（1）由Poission过程的性质，任取t2,t1,t2?t1假定事件：

则有：

，

因此有：

（2）由

，且f?(x1,x2;t1,t2)仅与t2?t1有关，可知

是平稳过程。

P312/3. 解：（1）由均值的定义，我们有：

（2）由相关函数的定义，任取

，我们可得：

P312/4. 解：为了解此题，先看下面的引理： 引理：设

是服从正态分布的二维随机变量，其概率密度为：

则 和Y取不同符号的概率为：

引理的证明：

令：

则有：

以上式子用了变换：

由：

因此只要求：

因此有：

由于此时：

我们即可得到结论。

P313/5. 证明：由于：

故

是宽平稳过程。 分别取t1?0,t2??/4,，则

，?(t2)?zsin(???/4)，因为

具