高考数学一轮复习平面向量【配套文档】第五章 5.3

∴|BC|＝3.

2．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是

A．－4 B．4 C．－2 D．2 答案 A

解析 a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a·b＝|b||a|·cos〈a，b〉，即－12＝3|a|·cos〈a，b〉， ∴|a|·cos〈a，b〉＝－4.

3．(2012·江西)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则

|PA|2＋|PB|2

等于

|PC|2A．2 答案 D

→→→

解析 ∵PA＝CA－CP， →→→→→2∴|PA|2＝CA2－2CP·CA＋CP.

→→→→→→→→2∵PB＝CB－CP，∴|PB|2＝CB2－2CP·CB＋CP. →→∴|PA|2＋|PB|2

→→→→→→＝(CA2＋CB2)－2CP·(CA＋CB)＋2CP2 →→→→＝AB2－2CP·2CD＋2CP2. →→→→又AB2＝16CP2，CD＝2CP，

→→→

代入上式整理得|PA|2＋|PB|2＝10|CP|2，故所求值为10. 二、填空题(每小题5分，共15分)

4．(2012·安徽)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.

答案

2

( )

( )

B．4 C．5 D．10

解析 a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b， ∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0， 1

∴m＝－.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝2.

2

5．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，

→→→→

点F在边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________． 答案

2

解析 方法一 坐标法．

以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)，E(2，1)，F(x,2)．

→→→→

故AB＝(2，0)，AF＝(x,2)，AE＝(2，1)，BF＝(x－2，2)， →→∴AB·AF＝(2，0)·(x,2)＝2x.

→→→又AB·AF＝2，∴x＝1.∴BF＝(1－2，2)． →→∴AE·BF＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝2. →→→→

方法二 用AB，BC表示AE，BF是关键． →→→→设DF＝xAB，则CF＝(x－1)AB.

→→→→→AB·AF＝AB·(AD＋DF) →→→→＝AB·(AD＋xAB)＝xAB2＝2x， →→又∵AB·AF＝2，∴2x＝2， ∴x＝

2→→→→?2?→

.∴BF＝BC＋CF＝BC＋AB. 2?2－1?

→→→→?→?2?→?∴AE·BF＝(AB＋BE)·BC＋AB

??2－1??2→1→→→

AB＋BC??BC＋?－1?AB? ＝?2????2??＝?＝?

2?→21→2

AB＋BC

2?2－1?

12?

－1×2＋2×4＝2. ?2?

6．(2012·上海)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD

→→

|BM||CN|→→

上的点，且满足＝，则AM·AN的取值范围是________．

→→|BC||CD|答案 [1,4]

→→|BM||CN|

解析 如图所示，设＝

→→|BC||CD|→→

＝λ(0≤λ≤1)，则BM＝λBC，

→→→→→CN＝λCD，DN＝CN－CD →

＝(λ－1)CD，

→→→→→→∴AM·AN＝(AB＋BM)·(AD＋DN) →→→→＝(AB＋λBC)·[AD＋(λ－1)CD] →→→→＝(λ－1)AB·CD＋λBC·AD ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，

→→∴当λ＝0时，AM·AN取得最大值4； →→当λ＝1时，AM·AN取得最小值1. →→∴AM·AN∈[1,4]． 三、解答题

137．(13分)设平面上有两个向量a＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b＝?－，?.

?22?

(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；

(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小． (1)证明 ∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 13?＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－??4＋4?＝0， 故向量a＋b与a－b垂直．

(2)解 由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得 3|a|2＋23a·b＋|b|2＝|a|2－23a·b＋3|b|2， 所以2(|a|2－|b|2)＋43a·b＝0，而|a|＝|b|， 13

－?·所以a·b＝0，即?cos α＋·sin α＝0， ?2?2

即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°， k∈Z， 即α＝k·180°＋30°，k∈Z，

又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.