高考数学一轮复习平面向量【配套文档】第五章 5.3

→→→→→→→∴AB＋BD＝xAB＋yAC，∴BD＝(x－1)AB＋yAC. →→→→→又AC⊥AB，∴BD·AB＝(x－1)AB2. →→→

设|AB|＝1，则由题意|DE|＝|BC|＝2.

6→→→

又∠BED＝60°，∴|BD|＝.显然BD与AB的夹角为45°.

2→→→∴由BD·AB＝(x－1)AB2， 得

63

×1×cos 45°＝(x－1)×12.∴x＝＋1. 22

3→→→

同理，在BD＝(x－1)AB＋yAC两边取数量积可得y＝.

2答案 1＋

33 22

温馨提醒 突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)．根据图形的特

点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二是原试题所给答案，较方法一略显繁杂.

方法与技巧

1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．

2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． 失误与防范

1．(1)0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并

非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． 2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b. 3．a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．

A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2012·辽宁)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于

A．－1 答案 D

解析 a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1?x＝1.

2．(2012·重庆)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋

1

B．－

2

1C. 2

D．1

( )

b|等于

( A.5

B.10

C．25 D．10

答案 B

解析 ∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2. 由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)． ∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝

32＋?－1?2＝10. 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(A.?7，7?93?? B.??－73，－7

9?? C.?77?3，9??

D.??－79

，－73?? 答案 D

解析 设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.

又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.

联立①②解得x＝－77

9，y＝－3

.

4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→

等于

( A．－3

2

B．－2

3

C.23

D.32

答案 D

解析 由于AB→·AC→＝|AB→|·|AC→

|·cos∠BAC ＝12(|AB→|2＋|AC→|2－|BC→

|2)＝132×(9＋4－10)＝2. 二、填空题(每小题5分，共15分)

)

)

① ②

)

5．(2012·课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.

答案 32

解析 ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|2a－b|2＝4－4×

2

|b|， 2

2

|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32. 2

→→

6．(2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.

答案 －16 解析 如图所示， →→→

AB＝AM＋MB，

→→→AC＝AM＋MC →→＝AM－MB，

→→→→→→∴AB·AC＝(AM＋MB)·(AM－MB)

→→→→

＝AM2－MB2＝|AM|2－|MB|2＝9－25＝－16.

7．已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．

3

－6，? 答案 (－∞，－6)∪?2??

3

解析 由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<，由a∥b得：

23

6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<，且λ≠－6.

2三、解答题(共22分)

8．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)，a与b的夹角是45°.

(1)求b；

(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c. 解 (1)a·b＝2n－2，|a|＝5，|b|＝∴cos 45°＝

2n－2

n2＋4，

2

＝，∴3n2－16n－12＝0， 2

5·n2＋4

2

∴n＝6或n＝－(舍)，∴b＝(－2,6)．

3

(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.

又c与b同向，故可设c＝λb (λ>0)，(c－a)·a＝0， |a|251∴λb·a－|a|＝0，∴λ＝＝＝，

b·a102

2

1

∴c＝b＝(－1,3)．

2

9．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向

量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 解 ∵e1·e2＝|e1|·|e2|·cos 60°＝2×1×1

2＝1，

∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)

＝2te21＋7te22＋(2t2＋7)e1·e2

＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7.

由已知得2t2＋15t＋7<0，解得－7

当向量2te1＋7e2与向量e1＋te2反向时， 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，

则???2t＝λ，?2t2?＝7

＝7?t＝－14或t＝14(舍)．

?λt22

故t的取值范围为(－7，－14141

2)∪(－2，－2

)． B组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1．(2012·湖南)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB→·BC→

＝1，则BC等于

A.3 B.7 C．22 D.23 答案 A

解析 ∵AB→·BC→

＝1，且AB＝2，

∴1＝|AB→||BC→|cos(π－B)，∴|AB→||BC→

|cos B＝－1. 在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cos B， 即9＝4＋|BC|2－2×(－1)．

( )