高等数学(2)-兰州大学201303考试

垂直。向量是曲线Γ在点M处的切向量，故曲线Γ在点M处的切线与向量垂直，垂直，

由曲线Γ的任意性知，所有过点M，且在曲面Σ上的曲线在M处的切线都与向量也就是这些切线都在以向量的切平面方程为

为法向量，并通过点M的平面上。所以，曲面Σ在点M处

过点M(x0，y0，z0)且垂直于该点处的切平面的直线称为曲面Σ在点M处的法线，显然，切平面的法向量就是法线的方向向量，所以曲面Σ在点M处的法线方程为

如果曲面Σ的方程为z=f (x，y), 则只需设

那么曲面Σ的方程就可化成F(x，y，z)=0的形式，而且

,

此时曲面Σ在点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为

法线方程为

四、考试重点

所讲的东西都是考试必考的内容，特别是给出的例题要好好练习分析，保证会做。例题全部会做，考试就肯定能通过。所以大家对例题好好练习，充分准备，有不会的及时问。

考前辅导资料

三、复习重点

3.1 函数的基本概念和性质

函数的基本概念包括自变量、因变量、定义域、函数值等，都是基本知识点，特别是定义域、函数值、奇函数、偶函数的应用，是函数的学习的重点。另外还有复合函数的计算问题。

例 1. 下列函数中为奇函数的是（ ）

A.f(x)?e?e2x?x B.f(x)?e?e2x?x

C.f(x)?x3?cosx D.f(x)?x5sinx

在奇函数f（x）中，f（x）和f（-x）的符号相反且绝对值相等，即f(-x)=-f(x)，反之，满足f(-x)=-f(x)的函数y=f（x）一定是奇函数。此题答案选B。 3.2函数的极限和积分计算

设f:(a,+∞)→R是一个一元实值函数，a∈R.如果对于任意给定的ε>0，存在正数X，使得对于适合不等式x>X的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式.│f(x)-A│<ε , 则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作f(x)→A(x→+∞). 例y=1/x，x→+∞时极限为y=0

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。 例2.当x→0时，下列变量为无穷小量的是( )

A.xsin1x2 B.

1xsinx

C.e?x

D.1?x 2 设f在某空心邻域有定义.若lim ?(x)=0 x→x○，则称?为当x→x○时的无穷小量。则算极限，答案选A。 例3.导数

?dxd2x0sin2udu=______

3.3极值点、拐点、驻点的概念和计算

判断极值点的步骤，是求出一阶导数等于0的点（也就是驻点），和不可导点，然后再判断在这些点左右邻近的情形，根据左右导数符号来判断是否为极值，所以极值点不一定是驻点，驻点也不一定是极值点。只有知道函数在这一点是极值且知道在这点可导时，才能得到这点一定是驻点。

而拐点是通过求二阶导数等于0和不存在的点，通过判断该点左右两侧邻近的符号来判断是否为拐点，如果知道是拐点，且二阶可导，则二阶导数一定是等于0，则根据判断极值的第二充分条件，这点是不是极值点无法判定，因此拐点和极值点也没有必然联系。

最值点定义：设函数f(x)在区问I有定义。X0∈I．若任意的x∈I。有，f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)。则称f(x0)是函数f(x)在区问I的一个最大值（或曩小值）。最大值与 最小值统称为最值；最大点与最小点统称为最值点. 注意，最值点有可能是闭区问的端点；最值点一定是极值点，但极值点不一定是最值点

这四者你需要知道如何判断，如何求解。熟练掌握概念及判定定理以及求解步骤。 例4．若f?x?在区间?a,b?上连续，且在点x?x0处取得最值，x0??a,b?，则点x?x0是f?x?的（ ）

A．极值点 B．不一定是极值点

C．区间端点 D．驻点 有以上解释可知答案为A。

例5.曲线y=3x5-5x4+4x-1的拐点是______.

3.4多元函数微分法及其应用

可考的内容也比较多，但是说起来就比较简单，主要是三个方面。第一方面就是多元函数偏导数怎么求？这个一定要会！！！首先要把偏导数这个概念弄清楚，实际上二元函数偏导数本质上还是一元函数的导数。因为你一个x，y的二元函数，你要对x求偏导的话，只不过是把x当做自变量，而除了x以外的y看成是常量。

另外是偏导数的应用这部分。一个就是偏导数在几何方面的应用，这个大家知道，主要就是怎么利用偏导数来求曲面上过一点的切平面和法线，它的方程。除此以外是空间曲线经过一点的切线和反平面方程，这是偏导数在几何方面的应用。还有就是怎么用偏导数来求函数的极值和函数的最大值和最小值，这个也是在多元微积分的应用当中一个非常重要的部分，所以考试经常会考到。重点主要指这三方面。

全微分的定义：函数z=f(x, y) 的两个偏导数f'x(x, y), f'y(x, y)分别与自变量的增量△x, △y乘积之和f'x(x, y)△x + f'y(x, y)△y，若该表达式与函数的全增量△z之差，当ρ→0时，是ρ( )，的高阶无穷小，

那么该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于△x, △y)的全微分。 记作：dz=f'x(x, y)△x + f'y(x, y)△y 例6. 函数z=ln

1212xy1在点(2,2)处的全微分dz为（ ）

121212A.－C.－

dx－dx+

122dy B.D.xydx+dy

12dy dx－dy

根据全微分的定义，则要求函数z=lnf'x(x, y)= f'y(x, y)=

y111.?? xyx2yx.x.(?1).1y2 的两个偏导数f'x(x, y), f'y(x, y)，其中

??12

于是答案为D。

例7.确定常数a,b的值，使函数f(x)??3.5曲线积分和曲面积分

主要是第一型曲线积分，也就是对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分，这两个概念要弄清楚，然后知道它们的计算公式。另外就是曲面积分，包括对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分。这个重点是对面积的曲面积分，特别是处理一些特殊的情况，比如说对积函数特

?3sinx,?aln(1?x)?bx?0x?0在点x=0处可导

别简单，对积函数就是一个常数，那么你要算对面积的曲面积分，就可以把常数提出去，然后就转化成求这个曲面的面积的问题。对于前面那个重积分的也是，如果重积分对积函数是一个常数，把那个函数提出去以后，就转化成求面积或者是求体积的问题，这部分也要求大家数量掌握。对求坐标的曲面积分，重点是利用高斯公式求解。另外这一部分里头，非常重要的就是微积分里最重要的定理，微积分的基本定理，一个是格林公式，它是讨论平面的封闭局限的曲线积分和二重积分的关系，还有高斯公式，考虑封闭曲面上这个曲面积分对坐标的曲面积分和三重积分之间的关系。这两个公式也是很重要的。高斯公式主要用于计算封闭曲面上的对坐标的曲面积分。而格林公式讨论了线积分和路径无关的条件，还有讨论了全微分的求积问题。

.在直角坐标系二重积分 的计算。把二重积分化为二次积分的关键：

（1）选择积分次序

（2）确定定积分的上、下限

根据积分区域D的图形和被积函数f(x,y)的特点 例8..计算二重积分I=??Dyey2dxdy，其中D是由y=x,x=1,x=2及x轴所围成的闭区域.

3.6向量空间与解析几何的基本概念 只要了解一些基本概念即可： 零向量

长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。 相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b． 规定：所有的零向量都相等．

向量共线的条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 若设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有x1y2=x2y1。 零向量0平行于任何向量。

向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a·b=0，即x1x2+y1y2=0。 3.7曲面的法线方程和切平面的计算

过曲面Σ上一点M，在曲面Σ上的曲线有无数多条，每一条曲线点M处都有一条切线，在下面的讨论中将会发现，在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面Σ在点M处的切平面。

设曲面Σ的方程为F(x，y，z)=0，M(x0，y0，z0)是曲面上一点，函数F(x，y，z)在点M处有连续的偏导数，且三个偏导数不全为零，曲面Σ在点M处的切平面方程为

过点M(x0，y0，z0)且垂直于该点处的切平面的直线称为曲面Σ在点M处的法线，显然，切平面的法向量就是法线的方向向量，所以曲面Σ在点M处的法线方程为

如果曲面Σ的方程为z=f (x，y), 则只需设

那么曲面Σ的方程就可化成F(x，y，z)=0的形式，而且

,

此时曲面Σ在点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为

法线方程为

例9.求曲面z = 2y + ln

xy在点（1，1，2）处的切平面及法线方程.

3.8幂级数的一些问题

对于幂级数，能够掌握一些基本概念，能够会判断级数是否收敛，以及求收敛半径即可。

?n?1n例10.幂级数?n?0x的收敛半径R=______.

3考试重点

所讲的东西都是考试必考的内容，特别是给出的例题要好好练习分析，保证会做。给出例题全部会做，考试就肯定能通过。所以大家对例题好好练习。