2018-2019学年江苏省泰州中学高二下学期第二次月考数学(理)试题(解析版)

20．已知函数f?x?是定义在R上的偶函数，且当x?0时，f?x??xx?m（m?0）. （1）当x?0时，求f?x?的表达式：

（2）求f?x?在区间?0,2?的最大值g?m?的表达式； （3）当m?2时，若关于x的方程f同实数解，求a的取值范围.

2?x??af?x??b?0（a，b?R）恰有10个不

?m2?,42?4?m?4?4【答案】（1）f?x???xx?m；（2）g?m???；（3）??2,?1?

4?2m,0?m?42?4???2m?4,m?4【解析】（1）根据偶函数的特点，可知f??x??f?x?，可得结果.

（2）采用分类讨论方法，m?2与0?m?2，去掉绝对值研究函数f?x??xx?m在区间?0,2?上的单调性，可得结果.

1?与t?1，可转化为（3）画出函数f?x?图像，利用换元法t?f?x?，得出t??0，???0?g1?0????g?t??t2?at?b两个根为t?1，t??0，1?，可得?g?0??0，最后计算可得结果.

??0??a?1?2?【详解】

（1）令x?0，则?x?0 由当x?0时，f?x??xx?m 所以f??x???x?x?m??xx?m 又函数f?x?是定义在R上的偶函数， 即f??x??f?x? 所以f?x???xx?m

所以当x?0时，f?x???xx?m

??x?x?m?,m?x?2 （2）当0?m?2时，f?x????xx?m,0?x?m????如图

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可知函数f?x?的最大值在

m或2处取得， 22?m?m所以f???，f?2??2?2?m?

24??m2?m?f???f?2???2m?4

4?2?1?m?f???f?2???m??4?42??m??4?42?

???4??2?????①若0?m?42?4，此时g?m??4?2m

2?m?m②若42?4?m?2，此时g?m??f???；

?2?4当m?2时，f?x???x?x?m?，对称轴为x?m 22m?m?m③若?2，即2?m?4时，则g?m??f???，

2?2?4④若

m?2，即m?4时，则g?m??f?2??2m?4 2?m2?,42?4?m?4?4gm? 综上，得????4?2m,0?m?42?4??2m?4,m?4?x?x?2?,x??2???x?x?2?,?2?x?0fx? （3）当m?2时，????xx?2,0?x?2????x?x?2?,x?2?如图

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令t?f?x?

由f?x?的图象可知，

当t?1时，方程f?x??t有两解； 当t?1时，方程f?x??t有四解； 当0?t?1时，方程f?x??t有六解； 当t?0时，方程f?x??t有三解； 当t?0时，方程f?x??t无解. 要使方程f2?x??af?x??b?0（a，b?R）

恰有10个不同实数解，

则关于t的方程t2?at?b?0的一个根为1， 另一个根t??0,1?，设g?t??t?at?b，则有

2???a2?4b?0?g?1??1?a?b?0?? ?g?0??b?0??0??a?1?2??b??1?a??1?a?0???2?a??1 则?2?a?4??1?a??0???2?a?0所以a的取值范围为??2,?1?. 【点睛】

本题考查分段函数的综合应用，第（2）问中，难点是分类讨论的使用，m?2与0?m?2第 19 页 共 20 页

情况；第（3）问中，难点是使用换元法以及数形结合，考验分析能力，属难题

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