2018-2019学年江苏省泰州中学高二下学期第二次月考数学(理)试题(解析版)

?5??4?300；?5?125.

P???2??C32?????P???3??????9??9?729?9?729所以，随机变量?的概率分布列为

23? P

0 1 2 3 64 729240 729300 729125 729所以E????0?642403001255?1??2??3??. 72972972972935. 3所以，随机变量?的数学期望为【点睛】

本题主要考查二项分布的知识，掌握二项分布的应用条件，同时区分超几何分布与二项分布的概念以及熟悉离散型的随机变量的期望与方差公式，属基础题.

18．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AC＝AD＝3，PA＝BC＝4.

（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）

76421.（2）. 3021uuuruuur【解析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量PB和向量CD的坐标，再利

用线线角的向量方法求解.

（2）先求得平面PBC的一个法向量，易知平面PAD的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解. 【详解】

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（1） 设BC的中点为E，由AB＝AC，可知AE⊥BC，

故分别以AE，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 则A(0，0，0)，P(0，0，4)，D(0，3，0)，B(5，－2，0)，C(5，2，0)．

设θ为两直线所成的角，

uuuruuur由PB＝(5，－2，－4)，CD＝(－5，1，0)，

uuuruuur|PB?CD|ruuur＝76. 得cosθ＝uuu|PB|?|CD|30ur（2） 设n1＝(x,y,z)为平面PBC的法向量，

uuuruuur(24)PB＝5，－，－，PC＝(5，2，－4)，

ruuuruuuururn1＝0，PC·n1＝0， PB·

??5x?2y?4z?0 即???5x?2y?4z?0取平面PBC的一个法向量n1＝(4，0，5)，

uruur平面PAD的一个法向量为n2＝(1，0，0)．

uruurn1?n2ur＝421. 设α为两个平面所成的锐二面角的平面角，则cosα＝ruun1?n221所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为【点睛】

本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，面面角的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 19．设Pn?421. 21?i?02n??1?Ci2ni，Qn??j?12n??1?Cj?jj2n

（1）求2P2?Q2的值；

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（2）化简Pn和Qn （3）计算nPn?Qn.

【答案】（1）2P2?Q2?0；（2）Pn?n?2n?1?2n?1，Qn?；（3）nPn?Qn?0 n?1n?1n?n?1?????n?m?1?n!?，以及求和符号m!?n?m?!m?m?1????1m【解析】（1）根据组合计算公式Cn?的理解，可得结果.

1n?1?11?（2）根据组合公式，证明m??m?m?1?，可化简Pn，证明

Cnn?2?CnCn?1??111kk?1QCn?Cn?1，可得n，则得结果

k?1n?1（3）根据（2）的结论，直接代入，可得结果. 【详解】

111115（1）由P2?0?1?2?3?4?3，

C4C4C4C4C4Q2??11?22?33?44?10，

3C4C4C4C4所以2P2?Q2?0.

1n?1?11???（2）先证：m?mm?1?. Cnn?2?CnC?1n?1?左边?m!?n?m?!，

n!右边?n?1?m!?n?1?m?!?m?1?!?n?m?!????

n?2??n?1?!?n?1?!?右边??n?m?1???m?1??1m!?n?m?!???

?n?2n!m!?n?m?!.

n!右边?所以左边?右边，故等式成立.

Pn?2n?1?111111?????L???01122n2n?1?

2n?2?C2CCCCCn?12n?12n?12n?12n?12n?1?第 15 页 共 20 页

Pn?2n?1?11?2n?1?? ?02n?1?2n?2?C2n?1C2n?1?n?1再证：

11kk?1Cn?Cn?1 k?1n?11n!n!?? k?1k!?n?k?!?k?1?!?n?k?!左边?右边??n?1?!?1n!? n?1?k?1?!?n?k?!?k?1?!?n?k?!所以左边?右边，故等式成立.

kk?1?1k?112n?11?????k 所以kkkkk?1C2nC2CCCC2nn2n2n2n?1?2n?1??2n?2??1?1??2n?1?1?1?k? ?k?1?kkk?2?k?1?C22n?3CC2n?2CCn2n?2?2n?1??2n?2?2n?1令A??12C2n?2?13C2n?2?13C2n?2?14C2n?2L?112n?1C2n?2?112n?2C2n?2

B??11C2n?1?12C2n?1?12C2n?1?13C2n?1L?2nC2n?1?2n?1C2n?1

Qn??2n?1??2n?2??A?2n?1?B

2n?32n?2Qn??2n?1??2n?2??1?2n?3??n?2n?1?. n?11?2n?1?1??1???? 21C2n?2?2n?2?C2n?1?Qn?（3）由（2）可知Pn?所以nPn?Qn?【点睛】

n?2n?1?2n?1 ，Qn?n?1n?1n?2n?1?n?2n?1???0 n?1n?1本题考查组合的性质与计算，本题关键在于证明

1n?1?11????mmm?1?，Cnn?2?Cn?1Cn?1?11kk?1Cn?Cn?1，达到化繁为简的目的，属难题. k?1n?1第 16 页 共 20 页