方波分解为多次正弦波之和的设计

武汉理工大学《专业课程设计3（信号与线性系统）》课程设计说明书

实际工程中的周期信号，大多都满足狄利克雷条件。周期性方波也满足上述条件，即方波可以展开为三角函数的加权和。

2.2 方波分解为多次正弦波之和的原理

由前一部分可知。代表周期性方波信号的函数f(t)满足狄利克雷条件，即方波可以表示为多次正弦波之和。如图1所示方波信号，其周期为2且正半周期负半周期是形状全同的矩形，在区间（0，2）内可用函数表示为：

??1(0?t?1)f(t)??? t? ? (1 2) ? ?1若将f(t)展开为三角傅里叶级数，即

将f(t)分解为多次正弦波之和，则有式（13）、式（14）可知，在区间（0，2）内，

如图1 所示的周期为2的方波信号的a0， 图1 周期为2的方波信号

an，bn的值分别为：

2a0=22?0f(t)dt?0 2an=22?0f(t)cosn?tdt?0 2bn=22?0f(t)sinn?tdt?02bn?2?0f(t)sinn?tdt?4/n?2当n为偶数

当n为奇数

则在区间（0，2）内f(t)可表示为：

f(t)?4?(sin?t?13sin3?t?15sin5?t?17sin7?t???） （15）

即周期为2s的方波信号中含有大量的正弦波，其频率分别为1/2，3/2，5/2，7/2···其中频率为1/2的正弦波称为基波，其他频率的正弦波称为谐波。即一周期性方波，可表示为基波与无穷多谐波之和。

实用中进行信号分析时，不可能取无穷多次谐波之和，而只能用有限项来近似表示。这样就无法避免有一误差?(t)，如果将基波加到n次谐波之和后的函数表示为fn(t)，则有

f(t)=fn(t)+?(t)，即?(t)=f(t)-?(t)。

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3 建立模型描述

3.1正弦波合成并与原始方波进行比较模型的建立

由原理部分可知，方波中含有无穷多次的正弦波，即方波可以分解为无穷多次正弦波之和。反过来可用无限多次正弦波相加可以合成方波，从而完成设计。但是在实际中不可能取无穷中多次的正弦波，取有限次正弦波合成，相较于原始方波信号，必然存在一定的误差。若用误差函数?(t)表示误差。若方波信号函数表示为f(t)，多次正弦波合成后函数表示为fn(t)，则误差函数?(t)=f(t)-fn(t)。然后利用相关绘图函数画出f(t)、fn(t)、?(t)即可。故设计建立的模型可表示如下：

多次正弦波合产生方波 抵抗力ws 成

误差函数 方波减合成波 画出方波图像 画出误差函数图像 画出合成波图像 图2 正弦波合成程序设计模型图示描述

其中产生方波可以调用square函数。对于多次正弦波的合成可以使用一循环语句，通过使用input输入循环的最大值N，来控制合成的谐波的数量。然后通过subplot函数建立三个子窗口，运用plot函数在三个子窗口中分别画出原始方波、合成波以及误差函数的波形图即可。同时，利用subplot函数建立三个子窗口，将原始方波，合成波及误差函数画在同一窗口下，可以更加直观的比较合成波与原始方波及观察误差函数。

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3.2 其他模型的建立

在本次设计中，建立的其他相关的模型有谐波合成趋势二维图、三维图的模型；方波单边频谱图模型；方波与其分解后的各次谐波的比较图模型。这些相关模型建立的描述如下。

1）谐波合成趋势二维图、三维图相关模型。使用循环结构，通过输入循环次数控制合成谐波的数量。然后分别使用plot、mesh函数画出相关二维图，三维图即可。

2）方波单边频谱图模型的建立。由原理部分可以知道，方波分解为正弦波之和后各次谐波的振幅情况。通过stem函数画出各频率谐波的振幅情况即可。其中，较高次谐波的幅度较小，故频谱图无需画到太高的频率。

3）方波与其分解后的各次谐波的比较图模型的建立。由原理部分可以得知各次谐波的振幅。较高次谐波振幅太小，比较的意义不大，故只画到第11次谐波。写出基波到11次谐波的的函数表达式，然后利用plot函数画出方波与与基波及各次谐波的波形图并进行比较即可。

4 源程序代码

4.1 正弦波合成并与原始方波比较的源程序代码及运行结果

4.1.1 正弦波合成并与原始方波比较的源程序代码

正弦波合成并与原始方波进行比较的源程序代码如下： %多次正弦波合成并与原始方波比较的设计 t=0:0.000111:6; n=1; fn=0;

y=square(pi*t,50);%周期为2s的方波 N=input('N=');%输入N值 for num=1:N

fn=fn+4/(n*pi)*sin(n*t*pi);%加到n次谐波正弦波之和 n=n+2; end

fm=y-fn;%误差函数

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subplot(3,1,1)%在第一个子窗口中画出原始方波图像 plot(t,y,'k'),grid on axis([0 6 -2 2])

xlabel('时间s');ylabel('振幅');title('方波')

subplot(3,1,2)%在第二个子窗口中画出加到n次谐波的正弦波合成图像 plot(t,fn,'k'),grid on

xlabel('时间s ');ylabel('振幅');title('正弦波合成') subplot(3,1,3)%在第三个子窗口中画出误差函数图像 plot(t,fm,'k'), axis([0 6 -2 2])

xlabel('时间s');ylabel('振幅');title('误差函数')

源程序中，通过输入的N值控制for循环的次数,从而控制合成的谐波次数n以及合成的谐波数量。通过改变输入的N可以改变合成波的谐波的最高次数即相加的谐波次数，从而改变合成波的波形。通过比较加到不同次数的合成波的波形及其相应的误差函数波形，可以知道正弦波合成随级数增大的趋势情况。

4.1.2 程序运行结果

1）N=3时，原始方波，合成波及误差函数图像如下：

图3 原始方波，加到五次谐波的合成波及相应误差函数图像

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